Exercice 24, § 6

Soient K un corps commutatif, L une extension galoisienne finie de K, de groupe de Galois G. Soient V (resp. V’) un K-espace vectoriel, t (resp. t’) un tenseur de type $(p, q)$ sur V (resp. V’) (III, p. 63). On appelle K-isomorphisme (ou simplement isomorphisme) de $(V, t)$ sur $(V', t')$ un isomorphisme K-linéaire $u : V \to V'$ tel que $(\mathbf{T}^p(u) \otimes \mathbf{T}^q(\tilde{u}))\ (t) = t'$. On notera $V_L$ le L-espace vectoriel $L \otimes_K V$ et $t_L$ le tenseur de type $(p, q)$ sur $V_L$ déduit de $t$ par extension des scalaires. On désigne par $F_{L/K}(V, t)$ l’ensemble des classes d’isomorphisme de couples $(W, \tau)$ tels que $(W_L, \tau_L)$ soit L-isomorphe à $(V_L, t_L)$.

EXERCICES

a) Soit M le groupe des L-automorphismes de $(V_L, t_L)$. Pour $m \in M$ et $\sigma \in G$, on pose

où $\pi_V : G \to \mathrm{Aut}_K(V_L)$ désigne l’action de G sur $V_L = L \otimes_K V$ déduite de l’action de G sur L. Montrer que l’on définit ainsi une structure de G-groupe sur M. b) Soit $(W, \tau)$ un élément de $F_{L/K}(V, t)$, et soit $u$ un L-isomorphisme de $(V_L, t_L)$ sur $(W_L, \tau_L)$. Pour $\sigma \in G$, on note $f_u(\sigma)$ l’élément $u^{-1} \circ \pi_W(\sigma) \circ u \circ \pi_V(\sigma)^{-1}$ de M. Montrer que $f_u \in Z^1(G, M)$ (exercice 23), et que sa classe dans $H^1(G, M)$ est indépendante du choix de $u$; on la note $\theta(W, \tau)$. c) Montrer que l’application $\theta : F_{L/K}(V, t) \to H^1(G, M)$ est bijective, et que l’on a $\theta(V, t) = e_M$.