Exercice 25, § 6

Soient K un corps commutatif, L une extension galoisienne finie de K, G son groupe de Galois. On fait opérer G sur le groupe $\mathbf{GL}(n, L)$ en posant $\sigma(a_{ij}) = (\sigma(a_{ij}))$ pour $\sigma \in G$, $(a_{ij}) \in \mathbf{GL}(n, L)$. Tout sous-groupe de $\mathbf{GL}(n, L)$ stable pour cette action est ainsi muni d’une structure de G-groupe (exercice 23). a) Montrer que les ensembles $H^1(G, \mathbf{GL}(n, L))$ et $H^1(G, \mathbf{SL}(n, L))$ sont réduits à un élément (cf. V, § 10, no 5, prop. 9). b) Montrer que l’ensemble $H^1(G, \mathbf{PGL}(n, L))$ s’identifie à l’ensemble des classes d’isomorphisme d’algèbres simples centrales S telles que l’algèbre $L \otimes_K S$ soit isomorphe à $M_n(L)$ (utiliser l’exercice 24). En associant à une telle algèbre sa classe dans le groupe Br(K, L) (VIII, § 13) et en identifiant ce dernier groupe à $H^2(G, L^*)$ (loc. cit.), on obtient une application $H^1(G, \mathbf{PGL}(n, L)) \to H^2(G, L^*)$ qui est l’opposée de l’application $\partial^1$ (exercice 23, f)) déduite de l’extension $L^* \to \mathbf{GL}(n, L) \to \mathbf{PGL}(n, L)$. Montrer que l’image de $\partial^1$ est formée d’éléments d’ordre n dans $H^2(G, L^*)$. c) Montrer que l’ensemble $H^1(G, \mathbf{Sp}(2n, L))$ est réduit à un élément (cf. IX, § 5, no 1, th. 1). d) Soit Q une forme quadratique sur le K-espace vectoriel V, $Q_L$ la forme quadratique qui s’en déduit sur $L \otimes_K V$. Montrer que $H^1(G, O(Q_L))$ s’identifie à l’ensemble des classes d’isomorphisme de formes quadratiques Q’ sur V telles que $Q'_L$ soit isomorphe à $Q_L$.