Exercice 26, § 6

On note $A^e$ la k-algèbre $A \otimes_k A^0$; tout $(A, A)$-bimodule est muni naturellement d’une structure de $A^e$-module à gauche et aussi d’une structure de $A^e$-module à droite. Soient M un $(A, A)$-bimodule, $n$ un entier $\geqslant 0$; on pose :

a) Le k-module $H_0(A, M)$ est isomorphe au quotient de M par le sous-k-module engendré par les éléments $(am - ma)$ pour $a \in A, m \in M$; le k-module $H^0(A, M)$ est isomorphe au sous-k-module de M formé des éléments m tels que $am = ma$ pour tout $a \in A$. Le k-module $H^1(A, M)$ s’identifie au quotient du k-module des dérivations $D_k(A, M)$ par le sous-k-module des dérivations intérieures, c’est-à-dire des dérivations $d_m$, pour $m \in M$, définies par $d_m(a) = am - ma$ pour tout $a \in A$ (cf. III, p. 132). b) On suppose que A est un k-module projectif. Montrer que la résolution standard B(A) (X, p. 58) définit une résolution projective du $A^e$-module à gauche A. En déduire que les k-modules $H^n(A, M)$ sont isomorphes aux modules d’homologie du complexe $C(A, M)$, où, pour $p \geqslant 0$, $C^p(A, M)$ est le k-module des applications k-multilinéaires de $A^p$ dans M, $C^p(A, M) = 0$ pour $p < 0$, la différentielle étant donnée par la formule : pour $f \in C^p(A, M)$, $x_0, ..., x_p \in A$. Donner une expression analogue pour les k-modules $H_n(A, M)$. c) Sous l’hypothèse de b), soit $\rho : k \to k'$ un homomorphisme d’anneaux commutatifs, $A'$ la $k'$-algèbre $k' \otimes_k A$, $M'$ un $(A', A')$-bimodule. Montrer que les k-modules $H_n(A, M')$ et $H_n(A', M')$ (resp. $H^n(A, M')$ et $H^n(A', M')$) sont isomorphes. d) On suppose désormais que k est un corps. Soient B une seconde k-algèbre (associative et unifière), M un $(A, A)$-bimodule, N un $(B, B)$-bimodule. Pour tout $n \geqslant 0$, définir un isomorphisme de k-modules Si l’on suppose de plus que A et B sont de dimension finie sur k, montrer qu’il existe de même un k-isomorphisme (utiliser X, p. 76, th. 3).

e) Soient M, N deux A-modules à gauche, P un A-module à droite, de sorte que les k-modules Hom_k(M, N) et M $\otimes_k$ P ont des structures naturelles de (A, A)-bimodules. Définir pour tout $n \geq 0$ des isomorphismes de k-modules :