Exercice 27, § 6

On appelle augmentation de la k-algèbre A un homomorphisme unifère de k-algèbres $\pi : A \to k$; on dit que le couple (A, $\pi$) est une k-algèbre augmentée. L’augmentation munit k d’une structure de A-module à gauche. Soient M un A-module à gauche, N un A-module à droite; on pose

a) On note $M_{(\pi)}$ (resp. $N_{(\pi)}$) le groupe M (resp. N) muni de la structure de (A, A)-bimodule définie par :

Montrer que le k-module $H_0(A, \pi ; N)$ (resp. $H^0(A, \pi ; M)$, resp. $H^1(A, \pi ; M)$) est isomorphe au k-module $H_0(A, N_{(\pi)})$ (resp. $H^0(A, M_{(\pi)})$, resp. $H^1(A, M_{(\pi)})$) défini dans l’exercice 26.

b) On suppose désormais que A est un k-module projectif. Définir à l’aide de la résolution standard (X, p. 58) des k-isomorphismes $\varphi_n : H_n(A, N_{(\pi)}) \to H_n(A, \pi ; N)$ et $\varphi^n : H^n(A, M_{(\pi)}) \to H^n(A, \pi ; M)$ pour tout $n \geq 0$.

c) On suppose qu’il existe un homomorphisme de k-algèbres $\rho : A \to A^e$ qui fasse de $A^e$ un A-module à droite projectif et tel que l’idéal à gauche de $A^e$ engendré par $\rho(\mathrm{Ker}\ \pi)$ soit le noyau de l’homomorphisme $A \otimes_k A^e \to A$ défini par la multiplication dans A. Montrer qu’il existe pour tout (A, A)-bimodule Q et tout entier $n \geq 0$ des k-isomorphismes $H_n(A, \pi ; Q) \to H_n(A, Q)$ (resp. $H^n(A, \pi ; Q) \to H^n(A, Q)$), Q étant considéré comme A-module à droite (resp. à gauche) via l’homomorphisme $\rho$. (Utiliser les homomorphismes canoniques de X, p. 109.)

d) Montrer que les hypothèses de c) sont vérifiées dans les cas suivants : α) A est l’algèbre (sur k) d’un groupe G, $\rho$ est défini par $\rho(e_g) = e_g \otimes e_{g^{-1}}$. β) A est l’algèbre tensorielle (resp. symétrique) d’un k-module projectif V ; $\rho$ est défini par

\* γ) A est l’algèbre enveloppante d’une algèbre de Lie g sur k, libre en tant que k-module ; on a

(utiliser le cor. 5 au th. 1 de LIE I, § 2, no 7).

δ) A est l’anneau de fonctions d’un groupe algébrique lisse G sur un corps k ; on prend