Exercice 28, § 6

Soient g une algèbre de Lie sur l’anneau commutatif k, U son algèbre enveloppante. On munit k de la structure de U-module à gauche correspondant à la représentation triviale de g. Soient N un g-module à droite, M un g-module à gauche, n un entier $\geq 0$; on pose

a) Le k-module $H_0(g, N)$ (resp. $H^0(g, M)$) est isomorphe à $N/Ng$ (resp. au sous-module de M formé des éléments annulés par g). On note $Z^1(g, M)$ (resp. $B^1(g, M)$) le sous-k-module de $\mathrm{Hom}_k(g, M)$ formé des éléments f tels que $f([x, y]) = xf(y) - yf(x)$ pour $x, y \in g$ (resp. des éléments $f_m$, pour $m \in M$, tels que $f_m(x) = xm$ pour $x \in g$). Montrer que $H^1(g, M)$ s’identifie au quotient $Z^1(g, M)/B^1(g, M)$.

b) On suppose désormais que g est un k-module libre. Montrer que les k-modules $H^n(g, M)$ s’identifient aux modules d’homologie du complexe $C(g, M)$, où pour $p \geq 0$, $C^p(g, M)$ est le k-module des applications multilinéaires alternées de $g^p$ dans M, $C^p(g, M) = 0$ pour $p < 0$, la différentielle étant donnée par la formule

pour $f \in C^p(g, M)$, $x_1, ..., x_{p+1} \in g$ (où le signe $\hat{}$ sur une lettre signifie qu’elle doit être omise).

Donner une expression analogue pour les $k$-modules $H_p(\mathfrak{g},M)$. (Utiliser X, p. 184, exercice 21.)

c) On suppose que $\dim_k(\mathfrak{g})=n<\infty$. Montrer que $H^p(\mathfrak{g},M)=0$ pour tout $p>n+1$ et tout $\mathfrak{g}$-module $M$, et qu’il existe un $\mathfrak{g}$-module $N$ tel que $H^n(\mathfrak{g},N)\neq0$ (prendre $N=\Lambda^n\mathfrak{g}$, où $\mathfrak{g}$ opère par la formule

montrer que $df=0$ pour tout $f\in C^{n-1}(\mathfrak{g},N)$.

d) La représentation adjointe de $\mathfrak{g}$ et la représentation de $\mathfrak{g}$ sur $M$ définissent une représentation $\theta$ de $\mathfrak{g}$ dans $C(\mathfrak{g},M)$, telle que

pour $f\in C^p(\mathfrak{g},M)$, $x,x_1,\ldots,x_p\in\mathfrak{g}$. Montrer que, pour tout $x\in\mathfrak{g}$, $\theta(x)$ est un endomorphisme homotope à zéro du complexe $C(\mathfrak{g},M)$ (définir une homotopie $i(x)$ en posant $(i(x)f)(x_1,\ldots,x_p)=f(x,x_1,\ldots,x_p)$).