Exercice 29, § 6

On garde les notations de l’exercice précédent ; on suppose de plus que $k$ est un corps de caractéristique zéro, et que l’algèbre de Lie $\mathfrak{g}$ est semi-simple (LIE, I, § 6). Soit $M$ un $\mathfrak{g}$-module de dimension finie sur $k$.

a) Si $M$ est simple et non trivial, on a $H^p(\mathfrak{g},M)=0$ pour tout $p>0$ (la forme bilinéaire sur $\mathfrak{g}$ associée à $M$ est non dégénérée (LIE, I, § 6, no 1, prop. 1); observer que la multiplication par l’élément de Casimir correspondant (LIE, I, § 3, no 7) est nulle dans $k$ et bijective dans $M$).

b) Montrer que $H^1(\mathfrak{g},M)=0$ quel que soit $M$ (utiliser a) et le fait que $\mathfrak{g}=\mathfrak{g}$). Inversement, une $k$-algèbre de Lie $\mathfrak{h}$ (de dimension finie) telle que $H^1(\mathfrak{h},M)=0$ pour tout $\mathfrak{h}$-module $M$ de dimension finie est semi-simple.

c) On munit $k$ de la structure de $\mathfrak{g}$-module correspondant à la représentation triviale. Montrer que, pour tout $p>0$, le $k$-espace vectoriel $H^p(\mathfrak{g},k)$ est isomorphe au sous-espace vectoriel de $C^p(\mathfrak{g},k)$ formé des formes $p$-linéaires alternées $f$ qui sont invariantes, c’est-à-dire telles que

(Déduire de la semi-simplicité des représentations de $\mathfrak{g}$ et de l’exercice 28, d) que $H^p(\mathfrak{g},k)$ est isomorphe à $H^p(C_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{g}),k)$, où $C_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{g})$ est le sous-complexe de $C(\mathfrak{g},k)$ annulé par tous les endomorphismes $\theta(x)$ pour $x\in\mathfrak{g}$ ; puis montrer que $C_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{g})$ est à différentielle nulle.)

d) Déduire de c) que $H^2(\mathfrak{g},M)=0$ pour tout $\mathfrak{g}$-module $M$ de dimension finie sur $k$. (Montrer que toute forme bilinéaire invariante sur $\mathfrak{g}$ est symétrique, en se ramenant au cas où $\mathfrak{g}$ est simple et $k$ algébriquement clos.) \*