Exercice 23, § 8

Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : α) Tout A-module de dimension projective finie est projectif. β) L’anneau A vérifie les conditions équivalentes de l’exercice 21, et pour tout idéal à droite de type fini a distinct de A, il existe un élément $x \neq 0$ de A tel que $xa = 0$. γ) L’anneau A vérifie les conditions équivalentes de l’exercice 21, et tout A-module simple est quotient d’un A-module injectif. (Montrer que α) entraîne que toute suite décroissante d’idéaux à droite monogènes de A est stationnaire en adaptant la démonstration de l’exercice 21. Déduire alors de l’exercice 22 l’équivalence de α) et β). Pour voir que α) entraîne γ), considérer une couverture projective P du module simple M, un module injectif I contenant P et une couverture projective Q de I ; définir un A-homomorphisme de Q dans P, et en déduire une surjection de I dans M. Pour montrer que γ) entraîne α), montrer qu’un A-module M tel que $\mathrm{dp}_A(M) \leq 1$ est projectif en considérant une couverture projective $p : P \to M$ et une surjection de $\ker p$ sur un module simple.)