(i) ⇒ (ii) : cela résulte du lemme 1. (ii) ⇒ (iii) : c'est trivial. (iii) ⇒ (iv) : dans la situation de (iv), on a pour tout A-module N un isomorphisme de $\mathrm{Ext}_A^1(K, N)$ sur $\mathrm{Ext}_A^{n+1}(M, N)$ (X, p. 128, cor. 4) ; si (iii) est satisfait, on a

pour tout N et K est projectif (X, p. 93, prop. 10). (iv) ⇒ (i) : considérons la suite exacte (X, p. 50) Si (iv) est satisfait, $Z_{n-1}(M)$ est projectif et M possède une résolution projective de longueur $\leq n$.

Dans l'énoncé suivant, on convient que $\pm \infty + 1 = \pm \infty - 1 = \pm \infty$.

a) On a

L'égalité a lieu dès que $\mathrm{dp}_A(M'') \neq \mathrm{dp}_A(M') + 1$.

b) On a

L'égalité a lieu dès que $\mathrm{dp}_A(M) \neq \mathrm{dp}_A(M')$.

c) On a

L'égalité a lieu dès que $\mathrm{dp}_A(M) \neq \mathrm{dp}_A(M'')$.

Démontrons par exemple a), les démonstrations de b) et c) étant analogues. Si N est un A-module quelconque et n un entier $\geq 0$, on a une suite exacte

Si $\mathrm{dp}_A(M'), \mathrm{dp}_A(M'') \leq n$, alors $\mathrm{Ext}_A^{n+1}(M', N) = 0$ et $\mathrm{Ext}_A^{n+1}(M'', N) = 0$ (prop. 1) donc $\mathrm{Ext}_A^{n+1}(M, N) = 0$ et $\mathrm{dp}_A(M) \leq n$ (prop. 1), de sorte que

Si $\mathrm{dp}_A(M)<\sup\bigl(\mathrm{dp}_A(M'),\mathrm{dp}_A(M'')\bigr)$, alors nécessairement $\mathrm{dp}_A(M)<+\infty$. Pour tout $n>\mathrm{dp}_A(M)$, et tout A-module N, on a

d’après la suite exacte précédente ; d’après la prop. 1, cela implique aussitôt $\mathrm{dp}_A(M'')=\mathrm{dp}_A(M')+1$, puisque l’une des quantités $\mathrm{dp}_A(M')$, $\mathrm{dp}_A(M'')$ est $>\mathrm{dp}_A(M)$.

Example. — Soit $a$ un élément de A qui n’est ni inversible, ni diviseur de zéro à droite. Alors $\mathrm{dp}_A(A/Aa)=1$.

En effet, d’après la suite exacte $0\longrightarrow A_s\xrightarrow{\varphi} A_s\longrightarrow A/Aa\longrightarrow0$, où $\varphi(x)=xa$, on a $\mathrm{dp}_A(A/Aa)\leq1$. Si $\mathrm{dp}_A(A/Aa)<1$, alors $A/Aa$ est projectif, et il existe une application A-linéaire $\psi:A_s\longrightarrow A_s$ telle que $\psi\circ\varphi=\mathrm{Id}$ ; cela implique

et $a$ est inversible.

(i) $\mathrm{dp}_A(M)\leq n$.

(i bis) M possède une résolution projective P de longueur $\leq n$ telle que $P_i$ soit un A-module de type fini pour chaque $i$.

(ii) $\operatorname{Ext}_A^r(M,N)=0$ pour tout A-module de type fini N et tout entier $r>n$.

(iii) $\operatorname{Ext}_A^{n+1}(M,N)=0$ pour tout A-module de type fini N.

(iv) $\operatorname{Tor}^A_r(P,M)=0$ pour tout A-module à droite P et tout $r>n$.

(v) $\operatorname{Tor}^A_{n+1}(A/a,M)=0$ pour tout idéal à droite de type fini $a$ de A.

(i bis) $\Rightarrow$ (i) : c’est trivial.

(i) $\Rightarrow$ (ii) : cela résulte du lemme 1.

(ii) $\Rightarrow$ (iii) : c’est trivial.

(iii) $\Rightarrow$ (i) : d’après (iii) et X, p. 107, prop. 5, on a $\operatorname{Ext}_A^{n+1}(M,N)=0$ pour tout A-module N, d’où (i) d’après la prop. 1.

(i) $\Rightarrow$ (iv) : cela résulte du lemme 1.

(iv) $\Rightarrow$ (v) : c’est trivial.

(v) $\Rightarrow$ (i bis) : soit $(L,d)$ une résolution libre de M telle que $L_r$ soit de type fini pour tout $r$ (X, p. 53, prop. 6). Posons $K=\mathrm{Z}_{n-1}(L)$ ; alors K est de type fini comme sous-module de $L_{n-1}$ et on a une suite exacte

D’après (v) et X, p. 131, cor. 3, on a $\operatorname{Tor}^A_1(A/a,K)=0$ pour tout idéal à droite de type fini $a$ de A. D’après le th. 2 de X, p. 74, le A-module K est plat ; comme il est de type fini, donc de présentation finie (X, p. 10, prop. 5), il est projectif (X, p. 13, cor.), donc (1) est une résolution projective de M.

Cela résulte de X, p. 58, th. 1 (notons que $\mathscr{C}_0$ et $\mathscr{C}$ sont exacts à gauche d’après le cor. 2).

Raisonnons par récurrence sur $n$. Si $n = 0$, $M$ est projectif, l’homomorphisme (3) se réduit à l’homomorphisme canonique $P \otimes_A M \to \operatorname{Hom}_A(M^*, P)$ de II, p. 77, et la proposition résulte de loc. cit., corollaire. Si $n > 0$, soit

(4)

une suite exacte de $A$-modules où $L$ est libre (et de type fini dans le cas $b$) ; alors $\mathrm{dp}_A(N) \leqslant n - 1$ (X, p. 135, cor. 2, c)) et $N$ est de type fini dans le cas $b$.

Soit $\theta \in \operatorname{Ext}_A^1(M, N)$ la classe associée à la suite exacte (4) (X, p. 117, déf. 1). Notons

les applications définies par $u_n(\alpha) = \alpha \circ \theta$ et $v_n(\beta) = \theta \circ \beta$. On a

pour tous $\alpha\in\operatorname{Ext}_A^{n-1}(N,A)$, $\beta\in\operatorname{Tor}_n^A(P,M)$ (X, p. 129, prop. 6), de sorte que le diagramme

où les flèches horizontales sont les homomorphismes canoniques, est commutatif.

Si $n=1$, on a ainsi un diagramme commutatif :

où les colonnes sont exactes ; on en déduit le résultat dans ce cas. Si $n\geq 2$, les appli- cations $u_n$ et $v_n$ sont bijectives (X, p. 128, cor. 4 et p. 131, cor. 3). D’après l’hypothèse de récurrence, l’homomorphisme canonique

est injectif (resp. bijectif) ; le diagramme (5) montre qu’il en est de même de l’homo- morphisme canonique $\operatorname{Tor}_n^A(P,M)\longrightarrow\operatorname{Hom}_A(\operatorname{Ext}_A^n(M,A),P)$, ce qui achève la démonstration.

(i) $\operatorname{dh}(A)\leq n$,

(ii) pour tout $A$-module M, on a $\mathrm{dp}_A(M)\leq n$,

(ii′) pour tout $A$-module M de type fini, on a $\mathrm{dp}_A(M)\leq n$,

(iii) pour toute suite exacte

où les $P_i$ sont projectifs, $K$ est projectif,

(iv) pour toute suite exacte

où les $I^i$ sont injectifs, $N$ est injectif,

(v) tout $A$-module possède une résolution injective de longueur $\leq n$.

L’équivalence des conditions (i), (ii) et (iii) résulte de la prop. 1. On a évidemment (ii) $\Rightarrow$ (ii’). Il nous suffit donc de prouver (ii’) $\Rightarrow$ (iv) $\Rightarrow$ (v) $\Rightarrow$ (i).

(ii’) $\Rightarrow$ (iv) : avec les notations de (iv), soit $K$ le noyau de $I^0 \to I^1$. D’après X, p. 128, cor. 4, on a pour tout $A$-module $M$ un isomorphisme $\mathrm{Ext}_A^1(M, N) \to \mathrm{Ext}_A^{n+1}(M, K)$; il résulte alors de (ii’) que $\mathrm{Ext}_A^1(M, N)$ est nul pour tout $A$-module de type fini $M$. D’après X, p. 93, prop. 11, cela implique que $N$ est injectif, d’où (iv).

(iv) $\Rightarrow$ (v) : soit $M$ un $A$-module. Appliquant (iv) à la suite exacte

de X, p. 52, on conclut que $K^{n-1}(M)$ est injectif, d’où (v).

(v) $\Rightarrow$ (i) : cela résulte de X, p. 100, th. 1.

(i) $\mathrm{dh}(A) \leq n$,

(ii) pour tout couple de $A$-modules $M$ et $N$ de type fini, on a $\mathrm{Ext}_A^{n+1}(M, N) = 0$,

(iii) pour tout $A$-module à gauche $M$ de type fini et tout $A$-module à droite $P$ de type fini, on a $\mathrm{Tor}_{n+1}^A(P, M) = 0$.

Cela résulte des prop. 2 et 4.

Cela résulte de X, p. 137, cor.

D’après la prop. 4, on a (i) ⇔ (ii) ⇔ (iv); d’après le cor. 1 à la prop. 4, on a (vi) ⇒ (iv). D’après X, p. 35, exemple 4, on a (i) ⇒ (vii); comme (ii) ⇒ (iii) et (vii) ⇒ (viii) sont triviales et que (viii) ⇒ (i) résulte de II, p. 39, prop. 4, il reste à prouver (iii) ⇒ (v) et (v) ⇒ (vi); la dernière assertion résulte de VIII, § 5, no 1, prop. 1 et 2; enfin si tout idéal de A est injectif, il est facteur direct dans A, d’où (iii) ⇒ (v).

(i) ⇔ (ii) ⇔ (iii) : cela résulte de la prop. 4 de X, p. 138. (ii) ⇒ (iv) : soit C un complexe projectif. Si (ii) est vérifié, le sous-module B(C) de C est projectif, d’où (iv) d’après X, p. 35, remarque b). (iii) ⇒ (v) : soit C un complexe injectif. Si (iii) est vérifié, le quotient B_n(C) de C_{n+1} est injectif pour tout n, d’où (v) d’après X, p. 35, remarque a). (iv) ⇒ (ii) : soient P un A-module projectif, M un sous-module de P, i : M → P l’injection canonique. Soit p : L → M un homomorphisme surjectif d’un module libre L sur M. Considérons le complexe projectif C tel que C_1 = L, C_0 = P, C_i = 0 pour i ≠ 0, 1, d_1 = i ◦ p. Si (iv) est satisfait, soit φ : C → H(C) un homologisme tel que H(φ) = 1_{H(C)}. Comme H_1(C) = Ker p, φ_1 est un projecteur de L sur Ker p, donc la suite exacte

est scindée et M est isomorphe à un facteur direct de L, donc est projectif.

$(v)\Rightarrow(iii)$ : soient I un module injectif, M un quotient de I, $\pi : I\to M$ la projection canonique. Soit $i : M\to J$ un homomorphisme injectif de M dans un module injectif J. Considérons le complexe injectif C tel que $C^0=I$, $C^1=J$, $C^i=0$ pour $i\ne0,1$, $d^0=i\circ\pi$. Si (v) est satisfait, soit $\psi : H(C)\to C$ un homomorphisme tel que $H(\psi)=1_{H(C)}$. Comme

$\psi^1$ est une section de la projection canonique $J\to\operatorname{Coker}i$, et M est facteur direct dans J, donc injectif.

$(ii)\Rightarrow(ii')$ : c’est trivial.

$(ii')\Rightarrow(ii)$ : cela résulte de VII, § 3, cor. 1 au th. 1.

Puisque $Z(C)$, $B(C)$, $Z(\widetilde C)$ et $B(\widetilde C)$ sont projectifs et $B(C')$ injectif, cela résulte de X, p. 78, cor. 2, p. 96, cor. 1 et p. 98, cor. 2.

La première assertion est claire si $\mathrm{dp}_A(M) = \pm \infty$; si $\mathrm{dp}_A(M) = n \in \mathbf{N}$, il existe une suite exacte de $A$-modules

où les $P_i$ sont projectifs ; la suite de $A'$-modules

est exacte, puisque $A'_d$ est plat, et les $A'$-modules $A' \otimes_A P_i$ sont projectifs (II, p. 89, cor.) ; donc $\mathrm{dp}_{A'}(A' \otimes_A M) \leq n = \mathrm{dp}_A(M)$. La seconde assertion est claire si $\mathrm{dp}_{A'}(M') = \pm \infty$; si $\mathrm{dp}_{A'}(M') = m \in \mathbf{N}$, il existe une suite exacte de $A'$-modules

où les $P'_i$ sont projectifs ; la suite des $A$-modules sous-jacents est exacte. D’autre part chaque $P'_i$ est un sous-$A'$-module facteur direct d’un module ${A'_s}^{(1)}$, donc est un $A$-module projectif ; on a donc $\mathrm{dp}_A(M') \leq m = \mathrm{dp}_{A'}(M')$.

l’assertion a) résulte alors de X, p. 135, cor. 2 et du lemme 2.

b) Si $\mathrm{dp}_{A[X]}(M) = \pm \infty$, l’assertion est triviale. Si $M$ est projectif et non nul, alors le $A$-module $M/XM$ s’identifie à $A \otimes_{A[X]} M$, donc est projectif, et on a $\mathrm{dp}_A(M/XM) \leq 0 = \mathrm{dp}_{A[X]}(M)$. Raisonnons par récurrence sur $\mathrm{dp}_{A[X]}(M) = n$, supposé $> 0$. Considérons une suite exacte de $A[X]$-modules $0 \to N \to L \to M \to 0$, où $L$ est un $A[X]$-module libre ; appliquant au diagramme

la prop. 2 de X, p. 4, on voit que $X_N$ est injectif et qu’on a la suite exacte

Comme $L$ est libre sur $A[X]$, $L/XL$ est libre sur $A$ et l’on a

comme $\mathrm{dp}_A(N/XN) \leq n - 1$ d’après l’hypothèse de récurrence, on en tire $\mathrm{dp}_A(M/XM) \leq n$, ce qu’il fallait démontrer.

c) L’assertion est triviale si $\mathrm{dp}_{A[X]}(M) = \pm \infty$, et aussi si $\mathrm{dp}_{A[X]}(M) = 0$ (qui est impossible puisque $XM = 0$). On peut donc supposer $\mathrm{dp}_{A[X]}(M) = n > 0$. Considérant comme ci-dessus une suite exacte $0 \to N \to L \to M \to 0$, où $L$ est un $A[X]$-module libre, on obtient une suite exacte de $A$-modules

D’après b), on a $\mathrm{dp}_A(N/XN) \leq \mathrm{dp}_{A[X]}(N) = \mathrm{dp}_{A[X]}(M) - 1 = n - 1$; comme $\mathrm{dp}_A(L/XL) = 0$, on déduit de la suite exacte précédente, en appliquant deux fois $X$, p. 135, cor. 2, que $\mathrm{dp}_A(M) \leq n - 1$. Mais, d’après a), on a

d’où c).

Pour tout $A[X]$-module $M$, on a (lemme 3)

donc $dh(A[X]) \leq dh(A) + 1$; inversement, si $M$ est un $A$-module, soit $\overline{M}$ le $A[X]$-module obtenu en munissant $M$ de la structure pour laquelle $XM = 0$, alors (lemme 3)

donc $dh(A) \leq dh(A[X]) - 1$.

Cela résulte du théorème par récurrence sur $n$.

Comme $A_0 \otimes_A M$ est isomorphe à $M/J_0 M$, ce n’est autre que ll, p. 171, prop. 6.

On a une suite exacte

et les $A$-modules gradués $\mathrm{Ker}\ s$ et $\mathrm{Coker}\ s$ sont bornés inférieurement. De la suite exacte $A_0 \otimes_A (A \otimes_{A_0} M/J_0 M) \xrightarrow{1 \otimes s} A_0 \otimes_A M \to A_0 \otimes_A \mathrm{Coker}\ s \to 0$, on déduit que $A_0 \otimes_A \mathrm{Coker}\ s = 0$, donc $s$ est surjectif (lemme 4). On a alors une suite exacte Si $\mathrm{Tor}_1^A(A_0, M) = 0$, alors $A_0 \otimes_A \mathrm{Ker}\ s = 0$ et $s$ est injectif (lemme 4).

a) Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) $M$ est isomorphe à un $A$-module gradué de la forme $A \otimes_{A_0} N$, où $N$ est un $A_0$-module gradué projectif (resp. gradué libre) ; (ii) $M$ est un $A$-module projectif (resp. gradué libre) ; (iii) $M/J_0 M$ est un $A_0$-module projectif (resp. gradué libre) et $\mathrm{Tor}_1^A(A_0, M) = 0$.

b) Supposons de plus que $M$ ait un système générateur formé d’éléments homogènes de degrés bornés. Alors les conditions suivantes sont équivalentes : (i) Le $A$-module gradué $M$ possède une suite de composition finie dont les quotients sont isomorphes à des $A$-modules gradués de la forme $A \otimes_{A_0} N$, où $N$ est un $A_0$-module gradué plat ; (ii) $M$ est un $A$-module plat ; (iii) $M/J_0 M$ est un $A_0$-module plat et $\mathrm{Tor}_1^A(A_0, M) = 0$.

Dans chacun des deux cas, on a évidemment (i) $\Rightarrow$ (ii) $\Rightarrow$ (iii). Il s’agit donc de démontrer (iii) $\Rightarrow$ (i).

a) Le $A$-module gradué $A \otimes_{A_0} M/J_0 M$ est un $A$-module projectif puisque $M/J_0 M$ est un $A_0$-module projectif. L’homomorphisme canonique de $A$-modules

est surjectif ; il existe donc un $A$-homomorphisme gradué de degré zéro tel que $p \circ s(a \otimes x) = ax$ pour $a \in A$ et $x \in M/J_0 M$.

D’après le lemme 5, $s$ est un isomorphisme de $A$-modules de $A\otimes_{A_0}M/J_0M$ sur $M$, d’où (i).

b) D’après l’hypothèse sur $M$, il existe des entiers $a,b$ avec $a\leq b$ tels que $M$ soit engendré par $\displaystyle\bigoplus_{a\leq i\leq b}M_i$. Raisonnons par récurrence sur l’entier positif $b-a$.

Si $b-a=0$, alors $M$ est engendré par $M_a$ et le $A_0$-homomorphisme canonique

est bijectif; on déduit alors du $A$-homomorphisme $A\otimes_{A_0}M_a\longrightarrow M$ défini par la structure de $A$-module de $M$ un $A$-homomorphisme gradué satisfaisant à la condition du lemme 5. Alors, d’après le lemme 5, $s$ est bijectif, d’où (i).

Dans le cas général, soient $M^{(a)}$ le sous-$A$-module (gradué) de $M$ engendré par $M_a$ et $M'$ le quotient $M/M^{(a)}$. On a une suite exacte

d’où, puisque $\operatorname{Tor}_1^A(A_0,M)=0$ par hypothèse, des suites exactes

Mais l’homomorphisme canonique $M_a\longrightarrow M^{(a)}/J_0M^{(a)}$ est bijectif. Il s’ensuit que l’homomorphisme $1\otimes f:M^{(a)}/J_0M^{(a)}\longrightarrow M/J_0M$ est injectif et que son image est un sous-$A_0$-module facteur direct de $M/J_0M$. Il résulte alors de la suite exacte (7) que $\operatorname{Tor}_1^A(A_0,M')=0$ et que le $A_0$-module $M'/J_0M'$ est plat puisque isomorphe à un facteur direct de $M/J_0M$. D’après l’hypothèse de récurrence (qui s’applique à $M'$ puisque celui-ci est engendré par les $M'_i$ pour $a<i\leq b$), $M'$ satisfait à la condition (i), donc est plat. On déduit alors de la suite exacte (6) que $\operatorname{Tor}_1^A(A_0,M^{(a)})=0$, mais $M^{(a)}/J_0M^{(a)}$ s’identifie à $M_a$ qui est un $A_0$-module plat (comme sous-module facteur direct de $M/J_0M$) ; d’après ce qu’on a déjà démontré, le $A$-module gradué $M^{(a)}$ est isomorphe à $A\otimes_{A_0}M_a$, donc satisfait aussi à (i), ce qui achève la démonstration.