§ 9. Complexes de Koszul

§ 9. Complexes de koszul

Dans ce paragraphe, tous les anneaux considérés sont commutatifs.

1. Les complexes $\mathbf{K}(u)$ , $\mathbf{K}.(u, C)$ , $\mathbf{K}^*(u, C)$

Soient $A$ un anneau, $L$ un $A$ -module, $u : L \to A$ une forme linéaire, et $\Lambda(L)$ l’algèbre extérieure du $A$ -module $L$ . Pour $x \in \Lambda(L)$ , notons $d_u(x)$ le produit intérieur $x \cdot u$ (III, p. 161, exemple). D’après loc. cit., p. 162, formule (60), on a

(1)\quad d_u(e_1 \wedge \ldots \wedge e_n) = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} u(e_i) \; e_1 \wedge \ldots \wedge e_{i-1} \wedge e_{i+1} \wedge \ldots \wedge e_n

pour $e_1, \ldots, e_n$ dans $L$ . D’après III, p. 164 et 165, l’application $d_u : \Lambda(L) \to \Lambda(L)$ est une antidérivation de degré $(-1)$ et de carré nul. C’est l’unique antidérivation de la $A$ -algèbre $\Lambda(L)$ qui prolonge $u : \Lambda^1(L) \to \Lambda^0(L)$ .

Définition 1

Le complexe $(\Lambda(L), d_u)$ se note $\mathbf{K}^A(u)$ ou $\mathbf{K}(u)$ .

On prendra garde que $\mathbf{K}_n(u) = \Lambda^n(L) = \mathbf{K}^{-n}(u)$ . Il est clair que $\mathbf{K}(u)$ est nul à droite et que $H_0(\mathbf{K}(u)) = \mathrm{Coker}\,(u) = A/q$ où $q$ est l’idéal $u(L)$ de $A$ .

Pour tout complexe de $A$ -modules $C$ , on pose

\begin{aligned} \mathbf{K}^A(u, C) &= C \otimes_A \mathbf{K}^A(u), \\ H^A(u, C) &= H(C \otimes_A \mathbf{K}^A(u)) \\ H_r^A(u, C) &= H_r(C \otimes_A \mathbf{K}^A(u)), \end{aligned}

\begin{aligned} \mathbf{K}^*_A(u, C) &= \mathrm{Homgr}_A(\mathbf{K}^A(u), C), \\ H^*_A(u, C) &= H(\mathrm{Homgr}_A(\mathbf{K}^A(u), C)), \\ H^r_A(u, C) &= H^r(\mathrm{Homgr}_A(\mathbf{K}^A(u), C)). \end{aligned}

On a donc des homomorphismes canoniques de $A$ -modules (X, p. 62 et p. 82)

\begin{aligned} \gamma_0 : H_0(C) \otimes_A A/q &\to H^A_0(u, C), \\ \lambda^0 : H^0_A(u, C) &\to \mathrm{Hom}_A(A/q, H^0(C)). \end{aligned}

Lemme 1

Si le complexe $C$ est nul à droite (resp. à gauche), alors $\mathbf{K}^A(u, C)$ (resp. $\mathbf{K}^*_A(u, c)$ ) est nul à droite (resp. à gauche), et $\gamma_0$ (resp. $\lambda^0$ ) est bijectif.

Cela résulte de X, p. 62, prop. 1 et p. 82, prop. 1.

Proposition 1

Soit $x \in L$ ; notons $R_x : y \mapsto x \wedge y$ la multiplication à gauche par $x$ dans l’algèbre $\Lambda(L)$ . Alors $d_u \circ R_x + R_x \circ d_u = u(x) \cdot 1_{\Lambda(L)} = u(x)_{\Lambda(L)}$ .

En effet $(d_u \circ R_x + R_x \circ d_u)(y) = d_u(x \wedge y) + x \wedge d_u(y)$ ; puisque $d_u$ est une antidérivation, $d_u(x \wedge y) + x \wedge d_u(y) = d_u(x) \wedge y = u(x) \cdot y$ .

Corollaire 1

Si $u$ est surjectif, $K(u)$ est homotope à zéro (X, p. 34) ainsi que $K^A(u, C)$ et $K_A^*(u, C)$ pour tout complexe $C$ .

En effet, il existe $x \in L$ tel que $u(x) = 1$ . Alors $K(u)$ est homotope à zéro d’après la prop. 1, donc aussi $K^A(u, C)$ (X, p. 64, prop. 3) et $K_A^*(u, C)$ (X, p. 83, prop. 3).

Corollaire 2

Soient $C$ un complexe, Ann (C) son annulateur. Alors $q + \mathrm{Ann}(C)$ annule $H^A(u, C)$ et $H_A^*(u, C)$ .

Pour tout $\lambda \in q$ , l’homothétie $\lambda_{K(u)}$ est homotope à zéro d’après la proposition, donc aussi $1_C \otimes \lambda_{K(u)}$ et Homgr ( $\lambda_{K(u)}, 1_C$ ) d’après X, p. 64, prop. 3 et X, p. 83, prop. 3 ; il s’ensuit que $\lambda$ annule $H(u, C)$ et $H^*(u, C)$ . Si $\lambda \in \mathrm{Ann}(C)$ , alors $1_{K(u)} \otimes \lambda_C$ et Homgr ( $1_{K(u)}, \lambda_C$ ) sont nuls.

Supposons $L$ projectif (resp. $K(u)$ acyclique en degrés > 0). Alors le complexe $\Lambda(L)$ est projectif d’après III, p. 87, cor. 2 (resp. est une résolution de $A/q$ ) ; d’après X, p. 102 (resp. p. 100), on a donc, pour tout $A$ -module $M$ , des homomorphismes

(2) $H_r^A(u, M) \to \mathrm{Tor}_r^A(A/q, M)$ , $\mathrm{Ext}_A^r(A/q, M) \to H_r^A(u, M)$ resp. (3) $\mathrm{Tor}_r^A(A/q, M) \to H_r^A(u, M)$ , $H_r(u, M) \to \mathrm{Ext}_A^r(A/q, M)$ .

Si $L$ est projectif et $K(u)$ acyclique en degrés > 0, les homomorphismes (2) et (3) ci-dessus sont bijectifs et réciproques les uns des autres (X, p. 102, prop. 1).

Proposition 2

Soit $(L_i)_{i \in I}$ une famille de $A$ -modules, où l’ensemble $I$ est fini et totalement ordonné. Soient $u$ une forme linéaire sur $\bigoplus_{i \in I} L_i$ , $u_i$ sa restriction à $L_i$ .

L’isomorphisme canonique de $A$ -algèbres (III, p. 84)

g : \bigotimes_{i \in I} \Lambda(L_i) \to \Lambda(\bigoplus_{i \in I} L_i)

est un isomorphisme du complexe $\bigotimes_{i \in I} K(u_i)$ (X, p. 63) sur le complexe $K(u)$ .

En effet, d’après X, p. 64, remarque 4, la différentielle $D$ du complexe $\bigotimes_{i \in I} K(u_i)$ est une antidérivation ; les antidérivations $d_u$ et $g \circ D \circ g^{-1}$ de $\Lambda(\bigoplus L_i)$ coïncident sur $\bigoplus L_i$ avec l’application $x \mapsto u(x).1$ de $\bigoplus L_i$ dans $\Lambda(\bigoplus L_i)$ , donc sont égales (III, p. 128, cor.).

Soient $C$ et $C'$ deux complexes de $A$ -modules. On a (X, p. 63 et p. 99) des isomorphismes canoniques de complexes

C \otimes_A (C' \otimes_A K(u)) \to (C \otimes_A C') \otimes_A K(u)

\mathrm{Homgr}_A(C', \mathrm{Homgr}_A(K(u), C)) \to \mathrm{Homgr}_A(C' \otimes_A K(u), C),

c'est-à-dire des isomorphismes

(4)

C \otimes_A K^A(u, C') \to K^A(u, C \otimes_A C')

(5)

\operatorname{Homgr}_A(C', K^i_A(u, C)) \to \operatorname{Homgr}_A(K^A(u, C'), C)

Dans (4) et (5), prenons $C' = K(u')$ , où $u' : L' \to A$ est une forme linéaire sur un $A$ -module $L'$ , et notons que $K^A(u, K(u'))$ qui est égal par définition à $K(u') \otimes_A K(u)$ s’identifie d’après la prop. 2 à $K(u' \oplus u)$ où $u' \oplus u : L' \oplus L \to A$ est la forme linéaire $(x', x) \mapsto u'(x') + u(x)$ . On obtient alors des isomorphismes de complexes

(6)

K^A(u' \oplus u, C) \to K^A(u, K^A(u', C))

(7)

K^i_A(u', K^i_A(u, C)) \to K^i_A(u' \oplus u, C)

Par passage à l’homologie, on en déduit des isomorphismes de $A$ -modules

H^A_r(u' \oplus u, C) \to H^A_r(u, K^A(u', C)) , \qquad r \in \mathbf{Z} ,

H^r_A(u', K^i_A(u, C)) \to H^r_A(u' \oplus u, C) , \qquad r \in \mathbf{Z} .

Notons enfin que l’homomorphisme déduit du produit dans l’algèbre $\Lambda(L)$

m : K^A(u) \otimes_A K^A(u) \to K^A(u)

est un morphisme de complexes (puisque $d_u$ est une antidérivation). Supposant $L$ libre de rang n et composant avec le morphisme de complexes $K^A(u) \to \Lambda^n L(-n)$ qui est l’identité en degré $n$ , on en déduit un morphisme de complexes

\chi : K^A(u) \otimes_A K^A(u) \to \Lambda^n L(-n) ;

à ce morphisme correspond canoniquement, d’après X, p. 99, prop. 12, un morphisme de complexes

\varphi : K^A(u) \to \operatorname{Homgr}_A(K^A(u), \Lambda^n L(-n))

qui est bijectif (III, p. 87, formule (20)). Pour tout complexe $C$ , on en déduit un isomorphisme composé

K^A(u, C) = C \otimes_A K^A(u) \xrightarrow{1 \otimes \varphi} C \otimes \operatorname{Homgr}_A(K^A(u), \Lambda^n L(-n)) \to \\ \to \operatorname{Homgr}_A(K^A(u), C \otimes_A \Lambda^n L(-n)) = K^i_A(u, C \otimes_A \Lambda^n L(-n)) .

Par passage à l’homologie, on a donc des isomorphismes canoniques

(8)

H^A_r(u, C) \to H^{n-r}_A(u, C \otimes_A \Lambda^n L) , \qquad r \in \mathbf{Z} .

Remarques. — 1) \* Ce qui précède reste valable lorsque $L$ est projectif de rang $n$ . \*

2) Puisque $L$ est libre de rang $n$ , $\Lambda^n L$ est isomorphe à $A$ , on a des isomorphismes non canoniques $H^A_r(u,C)\to H^{n-r}_A(u,C)$ .

2. Fonctorialité

Soit $f:C\to C'$ un morphisme de complexes. On note

K^A(u,f):K^A(u,C)\to K^A(u,C'),

K_A(u,f):K_A(u,C)\to K_A(u,C'),

les morphismes de complexes $f\otimes 1_{K(u)}$ et $\operatorname{Hom}_{A}(1_{K(u)},f)$ .

On note $H^A(u,f):H^A(u,C)\to H^A(u,C')$ , $H_A(u,f):H_A(u,C)\to H_A(u,C')$ , $H^A_r(u,f):H^A_r(u,C)\to H^A_r(u,C')$ , $H^A_r(u,f):H^A_r(u,C)\to H^A_r(u,C')$ les morphismes induits en homologie. L’application $f\mapsto K^A(u,f)$ est linéaire ; si $g:C'\to C''$ est un autre morphisme de complexes, on a $K^A(u,g\circ f)=K^A(u,g)\circ K^A(u,f)$ ; de même pour $K_A$ , $H^A$ , $H_A$ , $H^A_r$ , $H^A_r$ .

Soit $0\to C'\xrightarrow{f}C\xrightarrow{g}C''\to0$ une suite exacte de complexes.

a) Supposons $L$ plat ; alors $\Lambda(L)$ est plat (X, p. 15, cor.). La suite

0\to K^A(u,C')\xrightarrow{K^A(u,f)}K^A(u,C)\xrightarrow{K^A(u,g)}K^A(u,C'')\to0

est alors exacte, et donne naissance (X, p. 30) à une suite exacte d’homologie

\cdots\to H^A_n(u,C')\xrightarrow{H_n(u,f)}H^A_n(u,C) \xrightarrow{H_n(u,g)}H^A_n(u,C'') \xrightarrow{\partial_n}H^A_{n-1}(u,C')\to\cdots .

b) Supposons $L$ projectif ; alors $\Lambda(L)$ est projectif. La suite

0\to K_A(u,C')\xrightarrow{K_A(u,f)}K_A(u,C) \xrightarrow{K_A(u,g)}K_A(u,C'')\to0

est alors exacte, et donne naissance à une suite exacte d’homologie

\cdots\to H^n_A(u,C')\xrightarrow{H^n(u,f)}H^n_A(u,C) \xrightarrow{H^n(u,g)}H^n_A(u,C'') \xrightarrow{\delta^n}H^{n+1}_A(u,C')\to\cdots .

Soient $\rho:A\to A'$ un homomorphisme d’anneaux, $L'$ le $A'$ -module $A'\otimes_A L$ , $u':L'\to A'$ la forme linéaire $1\otimes u$ . L’homomorphisme canonique bijectif (III, p. 83, prop. 8)

\psi:\Lambda_{A'}(A'\otimes_A L)\to A'\otimes_A\Lambda_A(L)

est un isomorphisme de complexes de $A'$ -modules. On en déduit :

1) pour tout complexe de $A'$ -modules $C'$ , un isomorphisme de complexes de $A$ -modules

K^{A'}_{A}(u',C')\to K^A_A(u,C'),

composé du diagramme

C' \otimes_{A'} (\Lambda_A(A' \otimes_A L)) \xrightarrow{1_C \otimes \psi} C' \otimes_{A'} A' \otimes_A \Lambda_A(L) \to C' \otimes_A \Lambda_A(L)

où $\varphi$ est la bijection canonique (III, p. 85, prop. 14);

2) pour tout complexe de $A$ -modules $C$ , un isomorphisme de complexes de $A'$ -modules

K^A(u, A' \otimes_A C) \to A' \otimes_A K^A(u, C),

d'où des homomorphismes de $A'$ -modules

A' \otimes_A H_n^A(u, C) \to H_n^{A'}(u', A' \otimes_A C),

qui sont bijectifs lorsque $A'$ est plat sur $A$ (X, p. 66, cor. 2).

Soient $L'$ un $A$ -module, $u' : L' \to A$ une forme linéaire, $f : L \to L'$ un $A$ -homomorphisme tel que $u' \circ f = u$ . Il résulte de III, p. 161, formule (55), que l’homomorphisme $\Lambda(f) : \Lambda(L) \to \Lambda(L')$ satisfait à $d_u \circ \Lambda(f) = \Lambda(f) \circ d_{u'}$ , donc définit un morphisme de complexes $\Lambda(u) : K^A(u) \to K^A(u')$ . Si $C$ est un $A$ -complexe, on en déduit des morphismes de complexes

$1_C \otimes \Lambda(u) : K^A(u, C) \to K^A(u', C)$ et $\mathrm{Homgr}(\Lambda(u), 1_C) : K_A^*(u', C) \to K_A^*(u, C)$ .

Si $f$ est bijectif, tous ces morphismes sont des isomorphismes.

3. Exemple 1 : le complexe $S(L) \otimes_A \Lambda(L)$

Soient $A$ un anneau, $L$ un $A$ -module, $S(L)$ son algèbre symétrique, $S(L) \otimes_A L$ le $S(L)$ -module déduit par extension des scalaires, $u : S(L) \otimes_A L \to S(L)$ la forme linéaire telle que $u(s \otimes x) = sx$ pour $s \in S(L), x \in L$ . Par l’isomorphisme canonique de $S(L)$ -modules (III, p. 83, prop. 8)

\Lambda_{S(L)}(S(L) \otimes_A L) \to S(L) \otimes_A \Lambda(L),

la différentielle du complexe $K^{S(L)}(u)$ est transportée en l’application

d : S(L) \otimes_A \Lambda(L) \to S(L) \otimes_A \Lambda(L)

telle que, pour $x_1, ..., x_p, y_1, ..., y_q$ dans $L$ , on ait

\begin{align} (9) \quad d((x_1 ... x_p) \otimes (y_1 \wedge ... \wedge y_q)) \\ &= \sum_{i=1}^q (-1)^{i+1} y_i x_1 ... x_p \otimes (y_1 \wedge ... \wedge y_{i-1} \wedge y_{i+1} \wedge ... \wedge y_q). \end{align}

Notons que $d$ applique $S^p(L) \otimes \Lambda^q(L)$ dans $S^{p+1}(L) \otimes \Lambda^{q-1}(L)$ , donc que le complexe de $A$ -modules $S(L) \otimes \Lambda(L)$ se décompose en la somme directe des complexes décrits par les diagrammes suivants :

(\mathscr{E}_n) : 0 \to S^0 L \otimes_A \Lambda^n L \to S^1 L \otimes_A \Lambda^{n-1} L \to ... \to S^n L \otimes_A \Lambda^0 L \to 0, \quad n \in \mathbf{N}.

Si le A-module L est somme directe d'une famille finie $(L_i)_{i \in I}$ où I est totalement ordonné, la bijection canonique

\bigotimes_{i \in I} (\mathbf{S}(L_i) \otimes_A \Lambda(L_i)) \to \mathbf{S}(L) \otimes_A \Lambda(L)

est un isomorphisme de complexes de A-modules (cela résulte de la prop. 2 de X, p. 148 ou de la formule (9) ci-dessus).

Proposition 3

Si le A-module L est plat, les suites $(\mathscr{E}_n)$ ci-dessus sont exactes pour $n > 0$ .

a) Notons d'abord que, si $p_L$ est l'homomorphisme composé

\mathbf{S}(L) \otimes \Lambda(L) \xrightarrow{\alpha} \mathbf{S}^0(L) \otimes \Lambda^0(L) \xrightarrow{\beta} A,

où $\alpha$ est le produit tensoriel des projections canoniques et $\beta$ l'isomorphisme canonique, il s'agit de prouver que $H(p_L)$ est bijectif.

b) Si $L = 0$ ou si $L = A$ , la proposition est évidente.

c) Supposons L libre de rang fini ; écrivons-le comme somme directe $L_1 \oplus ... \oplus L_n$ de A-modules libres de rang 1. D'après la remarque qui précède la proposition, le complexe $\mathbf{S}(L) \otimes \Lambda(L)$ est isomorphe au produit tensoriel des $n$ complexes libres $\mathbf{S}(L_i) \otimes \Lambda(L_i)$ dont d'après b) l'homologie est libre. D'après X, p. 79, cor. 4, l'homomorphisme canonique

\gamma : \bigoplus_{i=1}^n H(\mathbf{S}(L_i) \otimes \Lambda(L_i)) \to H(\mathbf{S}(L) \otimes \Lambda(L))

est bijectif. D'après b) $H(p_{L_i})$ est bijectif pour tout $i$ . Comme $\bigotimes_{i=1}^n H(p_{L_i}) = H(p_L) \circ \gamma$ ,

H(p_L) \text{ est bijectif}.

d) Dans le cas général, L est limite inductive d'un système inductif filtrant $(L_i)_{i \in I}$ de modules libres de rang fini (X, p. 14, th. 1). Comme l'homomorphisme bijectif canonique

\varprojlim \mathbf{S}(L_i) \otimes \Lambda(L_i) \to \mathbf{S}(L) \otimes \Lambda(L)

est un isomorphisme de complexes, la proposition résulte de X, p. 28, prop. 1.

Remarque 1

Nous verrons ci-dessous (X, p. 158, exemple) une autre démonstration de la partie c) ci-dessus.

Remarque 2

Si A est une $\mathbf{Q}$ -algèbre, la conclusion de la prop. 3 reste vraie sans hypothèse sur L (cf. X, p. 206, exercice 1).

Remarque 3

Soient G un groupe et $\rho : G \to \mathbf{GL}(L)$ une représentation linéaire de G dans un A-module plat L. Alors les $(\mathscr{E}_n)$ sont des suites exactes de représentations linéaires. Supposons L projectif de type fini, et notons $R_A(G)$ l'anneau des représentations de G dans les A-modules projectifs de type fini. Il résulte de la prop. 3 que l’on a dans R_A(G) les relations

\sum_{i=0}^{n} (-1)^i [\mathbf{S}^i(L)] [\Lambda^{n-i}(L)] = 0 , \quad n > 0 .

Si on considère les séries formelles

s(T) = \sum_{i=0}^{\infty} [\mathbf{S}^i(L)] T^i \in R_A(G)[[T]] ,

\lambda(T) = \sum_{i=0}^{\infty} [\Lambda^i(L)] T^i \in R_A(G)[[T]] ,

les relations (10) s’écrivent

s(T) \lambda(-T) = 1_* .

4. Exemple 2 : le cas d’un module libre

Soient k un anneau, M un k-module, I un ensemble et p un entier $\geqslant 0$ . Une application $m : I^p \to M$ est dite alternée si elle satisfait aux deux conditions suivantes :

a) pour toute permutation $\sigma \in S_p$ et toute suite $(\alpha_1, ..., \alpha_p) \in I^p$ , on a

m(\alpha_{\sigma(1)}, ..., \alpha_{\sigma(p)}) = \varepsilon_{\sigma} m(\alpha_1, ..., \alpha_p) ,

b) pour toute suite $(\alpha_1, ..., \alpha_p) \in I^p$ telle que deux des indices $\alpha_1, ..., \alpha_p$ soient égaux, on a $m(\alpha_1, ..., \alpha_p) = 0$ . (Dans le cas où I est un k-module et m est multilinéaire, on retrouve la notion introduite en III, p. 80.)

Supposons I fini et notons $C_I^p(M)$ le k-module des applications alternées de $I^p$ dans M.

Soient $L_0$ un k-module, $(e_i)_{i \in I}$ une famille d’éléments de $L_0$ ; on définit deux applications k-linéaires

g : \mathrm{Hom}_k (\Lambda^p L_0, M) \to C_I^p(M)

h : C_I^p(M) \to M \otimes_k \Lambda^p L_0

comme suit : si $f \in \mathrm{Hom}_k (\Lambda^p L_0, M)$ , on pose

g(f)(\alpha_1, ..., \alpha_p) = f(e_{\alpha_1} \wedge ... \wedge e_{\alpha_p}) ;

soit $m \in C_I^p(M)$ , définissons $h(m) \in M \otimes_k \Lambda^p L_0$ . Pour tout élément $(\alpha_1, ..., \alpha_p)$ de $I^p$ , l’élément $m(\alpha_1, ..., \alpha_p) \otimes (e_{\alpha_1} \wedge ... \wedge e_{\alpha_p})$ de $\Lambda^p L_0 \otimes_k M$ est nul si $\mathrm{Card}\{ \alpha_1, ..., \alpha_p \} < p$ et est indépendant de l’ordre des indices $\alpha_1, ..., \alpha_p$ si

\mathrm{Card}\{ \alpha_1, ..., \alpha_p \} = p .

Il ne dépend que de la partie

J = (\alpha_1, ..., \alpha_p)

I

; notons-le

h_J(m)

; on a

h_J(m) = 0

\mathrm{Card}(J) < p

; on pose alors :

h(m) = \sum_J h_J(m) ,

où

J

parcourt les parties de

I

ayant

p

éléments.

Lemme 2

Si le k-module $L_0$ est libre de base $(e_i)_{i \in I}$ , les applications k-linéaires g et h sont bijectives.* Cela résulte de III, p. 79, th. 1.

Soient maintenant $M$ un $k$ -module, et $x = (x_i)_{i \in I}$ une famille de $k$ -endomorphismes de $M$ , deux à deux permutables. Considérons l’anneau de polynômes $A = k[(X_i)_{i \in I}]$ et munissons $M$ de la structure de $A$ -module telle que $P(X_i) m = P(x_i) m$ pour $P \in A$ et $m \in M$ . Soient d’autre part $L$ le $A$ -module libre $A^I$ , $(e_i)_{i \in I}$ sa base canonique et $u : L \to A$ la forme linéaire qui applique $e_i$ sur $X_i$ pour tout $i \in I$ . Considérons les complexes de $k$ -modules $K_A^*(u, M)$ et $K_A^*(u, M)$ ; on a des isomorphismes canoniques

K_A^p(u, M) = \mathrm{Hom}_A(\Lambda_A^p(A^I), M) \to \mathrm{Hom}_k(\Lambda_k^p(k^I), M) ,

M \otimes_k \Lambda_k^p(k^I) \to M \otimes_A \Lambda_A^p(A^I) = K_A^p(u, M) ;

d’où par composition avec les isomorphismes

g

h

des isomorphismes de k-modules

\theta^p : K_A^p(u, M) \to C_I^p(M) ,

\theta_p : C_I^p(M) \to K_A^p(u, M) .

On note

\partial^p : C_I^p(M) \to C_I^{p+1}(M) ,

\partial_p : C_I^p(M) \to C_I^{p-1}(M) ,

les

k

-homomorphismes obtenus en transportant les différentielles de

K_A^*(u, M)

K_A^*(u, M)

par les isomorphismes

\theta

. On a par exemple : (12)

(\partial^p m)(\alpha_1, ..., \alpha_{p+1}) = \sum_{j=1}^{p+1} (-1)^{j+1} x_{\alpha_j} m(\alpha_1, ..., \alpha_{j-1}, \alpha_{j+1}, ..., \alpha_{p+1}) .

Le complexe formé des

C_I^p(M)

et des

\partial^p

(resp. des

\partial_p

) se note

K^*(x, M)

(resp.

K.(x, M)

) et s’appelle le complexe de Koszul ascendant (resp. descendant) associé au module M et à la suite d’endomorphismes

(x_1, ..., x_n)

. On a donc des isomorphismes de complexes de

k

-modules

\theta^*: K_A^*(u, M) \to K^*(x, M),

\theta_*: K_*(x, M) \to K_A^*(u, M).

Remarque

Inversement, soient B une $k$ -algèbre, L un B-module libre de base $(e_i)_{i \in I}$ , et M un B-module. La donnée d’une forme linéaire $u : L \to B$ équivaut à celle d’une famille $x = (x_i)_{i \in I}$ d’éléments de B, par la relation $x_i = u(e_i)$ . Le complexe de $k$ -modules sous-jacent à $K_B^*(u, M)$ (resp. $K^B(u, M)$ ) s’identifie alors, par l’isomorphisme $\theta^*$ (resp. $\theta_*$ ) au complexe de Koszul $K^*(x, M)$ (resp. $K_*(x, M)$ ). Par exemple $K^B(u)$ s’identifie à $K^*(x, B)$ .

On introduit comme au n° 1 (X, p. 147) les notations $H_*(x, M)$ , $H_*(x, M)$ , etc., et tous les résultats des n°s 1 et 2 s’appliquent mutatis mutandis, le module $A^I$ étant libre. On a par exemple des isomorphismes

H_0(x, M) \to M/(x) M

H^0(x, M) \to \operatorname{Hom}_A(A/(x), M),

où $(x)$ désigne l’idéal $\sum A x_i$ de A. Par exemple aussi, si $K_*(x, A)$ est acyclique en degrés $> 0$ , on a des isomorphismes

H_r(x, M) \to \operatorname{Tor}_r^A(k, M),

\operatorname{Ext}_A^r(k, M) \to H^r(x, M).

Enfin, supposons I (fini et) totalement ordonné, par exemple $I = \{ 1, ..., n \}$ ; identifions $\Lambda^n(A^I)$ à A grâce à l’élément de base $e_1 \wedge ... \wedge e_n$ et traduisons l’isomorphisme $K_p^A(u, M) \to K_A^{n-p}(u, M)$ de X, p. 149. Il devient, par transport par $(\theta_p)$ et $(\theta^{n-p})$ , l’isomorphisme

C_1^p(M) \to C_1^{n-p}(M)

qui associe à $m \in C_1^p(M)$ l’élément $\tilde{m}$ de $C_1^{n-p}(M)$ tel que

m(\alpha_1, ..., \alpha_p) = \tilde{m}(\beta_1, ..., \beta_{n-p})

si $(\alpha_1, ..., \alpha_p, \beta_1, ..., \beta_{n-p})$ est une permutation paire de $\{ 1, ..., n \}$ . Remarquons aussi que lorsque $I = \{ 1, ..., n \}$ , on peut identifier $C_1^p(M)$ à l’ensemble des familles $m(\alpha_1, ..., \alpha_p)$ d’éléments de M où $\alpha_1 < \alpha_2 < ... < \alpha_p$ ; la formule (12) reste valable, ainsi que la relation (13).

Exemple

Prenons $M = k[T_1, ..., T_n]$ ; le complexe de Koszul $K (\partial/\partial T, M)$ associé à la suite d’endomorphismes $(\partial/\partial T_1, ..., \partial/\partial T_n)$ s’identifie au complexe de de Rham de $k[x_1, ..., x_n]$ sur $k$ (X, p. 44) : à $m \in C_{\{1,...,n\}}^p(M)$ , on associe la forme différentielle

\omega(m) = \sum_{\alpha_1 < ... < \alpha_p} m(\alpha_1, ..., \alpha_p)\ dx_{\alpha_1} \wedge ... \wedge dx_{\alpha_p},

cf. formule (12) et exemple 1, p. 44.

5. Exemple 3 : le cas $L = A$

Si $L = A$ , posons $u(1) = x \in A$ . Le complexe $K(u)$ est alors de longueur 1, on a $K_0(u) = K_1(u) = A$ et $d_1(a) = xa$ , donc pour tout $A$ -module $M$ , $K_0(u, M)$ , $K_1(u, M)$ , $K^0(u, M)$ et $K^1(u, M)$ s'identifient à $M$ , les différentielles

d_1 : K_1(u, M) \to K_0(u, M) \quad \text{et} \quad d^0 : K^0(u, M) \to K^1(u, M)

étant $m \mapsto xm$ . On a donc des isomorphismes

H_0(x, M) \to A/xA \otimes_A M \leftarrow H^1(x, M),

H_1(x, M) \to \mathrm{Hom}_A(A/xA, M) \leftarrow H^0(x, M).

Lemme 3

Soit $K$ un complexe tel que $K_i = 0$ pour $i \neq 0, 1$ , et soient $C$ un complexe et $p$ un entier.

a) Si $K$ est plat, on a pour tout $p \in \mathbf{N}$ une suite exacte

0 \to H_0(K \otimes_A H_p(C)) \to H_p(K \otimes_A C) \to H_1(K \otimes_A H_{p-1}(C)) \to 0.

b) Si $K$ est projectif, on a pour tout $p \in \mathbf{N}$ une suite exacte

0 \to H^1(\mathrm{Homgr}_A(K, H^{p-1}(C))) \to H^p(\mathrm{Homgr}_A(K, C))

\to H^0(\mathrm{Homgr}_A(K, H^p(C))) \to 0.

Démontrons a), la démonstration de b) étant analogue. Pour tout $i$ , notons $K_{(i)}$ le complexe $K_i(-i)$ . On a une suite exacte de complexes, scindée comme suite de $A$ -modules

0 \to K_{(0)} \xrightarrow{\alpha} K \xrightarrow{\beta} K_{(1)} \to 0;

la suite

\begin{array}{ccccccccc} 0 & \longrightarrow & K_{(0)} \otimes_A C & \xrightarrow{\alpha \otimes 1} & K \otimes_A C & \xrightarrow{\beta \otimes 1} & K_{(1)} \otimes_A C & \longrightarrow & 0 \end{array}

est exacte, et $K$ étant plat, les homomorphismes

\gamma_{0,p}(K_{(0)}, C) : K_{(0)} \otimes_A H_p(C) \to H_p(K_{(0)} \otimes_A C)

\gamma_{1,p-1}(K_{(1)}, C) : K_{(1)} \otimes_A H_{p-1}(C) \to H_p(K_{(1)} \otimes_A C)

sont bijectifs (X, p. 66, cor. 2). Calculons l’homomorphisme de liaison $\partial(\alpha \otimes 1,\beta \otimes 1)$ ; par définition, il applique la classe du cycle $\sum a_i \otimes b_i$ sur celle de $\sum d a_i \otimes b_i$ , ce qui signifie que

\partial(\alpha \otimes 1,\beta \otimes 1)\circ\gamma(K_{(1)},\mathbf C)=\gamma(K_{(0)},\mathbf C)\circ(d_K\otimes 1).

La suite exacte d’homologie associée à (14) prend donc la forme

K_1\otimes H_p(\mathbf C)\xrightarrow{d_k\otimes 1}K_0\otimes H_p(\mathbf C)\longrightarrow H_p(K\otimes\mathbf C)

\hspace{7cm}\longrightarrow K_1\otimes H_{p-1}(\mathbf C)\xrightarrow{d_k\otimes 1}K_0\otimes H_{p-1}(\mathbf C),

d’où a).

Appliquant le lemme 3, a) au complexe $K(u)$ , et utilisant les isomorphismes de commutation, on obtient :

Proposition 4

Pour tout complexe $C$ , on a des suites exactes .

0\longrightarrow A/xA\otimes_A H_p(C)\longrightarrow H_p(x,C)\longrightarrow \operatorname{Hom}_A(A/xA,H_{p-1}(C))\longrightarrow 0.

Corollaire 1

Pour que $H_p(x,C)=0$ , il faut et il suffit que l’homothétie de rapport $x$ dans $H_p(C)$ soit surjective et que l’homothétie de rapport $x$ dans $H_{p-1}(C)$ soit injective.

Corollaire 2

Soient $x=(x_1,\ldots,x_n)$ une suite d’éléments de $A$ , $M$ un $A$ -module, $x'$ la suite $(x_1,\ldots,x_{n-1})$ . On a des suites exactes

0\longrightarrow A/x_nA\otimes_A H_p(x',M)\longrightarrow H_p(x,M)\longrightarrow \operatorname{Hom}_A(A/x_nA,H_{p-1}(x',M))\longrightarrow 0.

Corollaire 3

Pour que $H_i(x,M)$ soit nul pour tout $i>0$ , il faut et il suffit que l’homothétie de rapport $x_n$ dans $H_i(x',M)$ soit bijective pour $i>0$ , et que l’homothétie de rapport $x_n$ dans $M/(x')M$ soit injective.

6. Familles complètement sécantes

Soient $A$ un anneau, $M$ un $A$ -module, $x=(x_i)_{i\in I}$ une famille d’éléments de $A$ .

Définition 2

La famille $x$ est dite complètement sécante pour $M$ si on a $H_i(x,M)=0$ pour $i>0$ .

Si $I$ est fini, il revient au même (X, p. 150) de dire qu’on a $H^i(x,M)=0$ pour $i<\operatorname{Card}(I)$ .

La proposition suivante permet de donner des exemples de familles complètement sécantes.

Proposition 5

Soit $x=(x_1,\ldots,x_n)$ une suite d’éléments de $A$ . Si pour $i=1,\ldots,n$ , l’homothétie de rapport $x_i$ dans le $A$ -module $M/(x_1M+\cdots+x_{i-1}M)$ est injective, la suite $x$ est complètement sécante pour $M$ .

Une suite vérifiant les conditions de la proposition est dite régulière pour M, ou M-régulière. On notera que cette propriété dépend en général de l’ordre des $x_i$ ; par exemple la suite $(1, 0)$ est toujours M-régulière, tandis que la suite $(0, 1)$ ne l’est que si M est nul. En revanche, le fait qu’une suite soit complètement sécante ne dépend pas de l’ordre des termes.

Démontrons la proposition par récurrence sur $n$ , le cas $n = 0$ étant immédiat. Posons $x' = (x_1, ..., x_{n-1})$ ; si la suite $x$ est M-régulière, la suite $x'$ est M-régulière et la multiplication par $x_n$ dans $M/(x')M$ est injective; d’après l’hypothèse de récurrence, on a $H_i(x', M) = 0$ pour $i > 0$ ; il résulte alors du cor. 3 de X, p. 157, que $H_i(x, M) = 0$ pour $i > 0$ .

Exemple

Soit $k$ un anneau; prenons $A = k[X_1, ..., X_n]$ et $x = (X_1, ..., X_n)$ . La suite $x$ est A-régulière et la proposition redonne l’acyclicité en degrés $> 0$ du complexe $S_k(k^n) \otimes_k \Lambda_k(k^n)$ (cf. X, p. 152, prop. 3). De même dans l’anneau de séries formelles $\hat{A} = k[[X_1, ..., X_n]]$ , la suite $(X_1, ..., X_n)$ est $\hat{A}$ -régulière, donc complètement sécante pour $\hat{A}$ .

Proposition 6

a) Si $\sum_{i \in I} x_i A = A$ , la famille $(x_i)_{i \in I}$ est complètement sécante pour M. b) Soit $x = (x_1, ..., x_n)$ une suite d’éléments de A. Soit $(a_{ij}) \in \mathrm{GL}_n(A)$ ; posons

y_i = \sum_j a_{ij} x_j.

Si la suite

x

est complètement sécante pour M, il en est de même de la suite

(y_1, ..., y_n)

. c) Soient

k_1, ..., k_n

des entiers

\geqslant 1

; pour que la suite

(x_1^{k_1}, ..., x_n^{k_n})

soit complètement sécante pour M, il faut et il suffit que la suite

x

soit complètement sécante pour M. L’assertion a) résulte du cor. 1, p. 148. Démontrons b). Soit

f : A^n \to A^n

l’isomorphisme défini par la matrice

^t(a_{ij})

; il résulte de X, p. 151, que

1_M \otimes \Lambda(f)

est un isomorphisme du complexe

K.(y, M)

sur le complexe

K.(x, M)

, d’où b). Pour démontrer c), il suffit évidemment de prouver que si

k

est un entier

\geqslant 1

, la suite

(x_1, ..., x_{n-1}, x_n^k)

est complètement sécante pour M si et seulement si il en est de même pour la suite

x

. Soit

x' = (x_1, ..., x_{n-1})

; d’après le cor. 3, p. 157, la première condition (resp. la seconde) signifie que l’homothétie de rapport

x_n^k

(resp.

x_n

) est bijective dans

H_i(x', M)

pour

i \geqslant 1

et injective dans

M/(x')M

. Ces deux conditions sont clairement équivalentes, d’où c).

Remarque 1

L’assertion analogue à c) pour les suites régulières est vraie (X, p. 207, exercice 5).

Proposition 7

a) Soit N un A-module plat. Si la famille x est complètement sécante pour M, elle l’est pour $M \otimes_A N$ .

b) Soit $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ une suite exacte de $A$ -modules. Si la famille $x$ est complètement sécante pour $M'$ et pour $M''$ , elle l’est pour $M$ .

Le complexe $K.(x, M \otimes_A N)$ est isomorphe par définition à $K.(x, M) \otimes_A N$ ; comme $N$ est plat, on en déduit un isomorphisme $H.(x, M) \otimes_A N \to H.(x, M \otimes_A N)$ (X, p. 66, cor. 2), d’où a).

Le complexe $K.(x)$ étant plat, on a une suite exacte de complexes

0 \to K.(x, M') \to K.(x, M) \to K.(x, M'') \to 0 ;

l’assertion b) résulte de la suite exacte d’homologie associée.

Remarque 2

Les assertions analogues à a) et b) pour les suites régulières sont immédiates.

Remarque 3

Si la famille $x$ est complètement secante pour $A$ , le complexe $K.(x, A)$ définit une résolution libre du $A$ -module $A/x$ , avec $x = \sum_{i \in I} x_i A$ ; on a donc pour tout entier $i \geqslant 0$ et pour tout $A$ -module $M$ des isomorphismes

\text{Ext}_A^{n-i}(A/x, M) \to H^{n-i}(x, M) \to H_i(x, M) \to \operatorname{Tor}_i^A(A/x, M) .

Remarque 4

On dit que la suite $x = (x_1, ..., x_n)$ est $M$ -corégulière si (notant $(x_i)_M$ l’homothétie de rapport $x_i$ dans $M$ ) l’homothétie de rapport $x_i$ dans le module

\operatorname{Ker}(x_1)_M \cap ... \cap \operatorname{Ker}(x_{i-1})_M

est surjective pour $i = 1, ..., n$ . On a alors $H_i(x, M) = 0$ pour $i < n$ : cela se démontre de la même manière que la prop. 5.

Prenons par exemple $A = k[D_1, ..., D_n]$ , où $k$ est une $\mathbf{Q}$ -algèbre, et $M = k[T_1, ..., T_n]$ , muni de la structure de $A$ -module telle que $D_i P = \partial P / \partial T_i$ pour tout $P \in M$ ( $1 \leqslant i \leqslant n$ ). On vérifie aussitôt que la suite $(D_1, ..., D_n)$ est $M$ -corégulière; compte tenu de l’exemple p. 155, on en déduit que le complexe de de Rham de $k[T_1, ..., T_n]$ sur $k$ est acyclique en degrés $> 0$ .

7. Un critère pour les suites complètement sécante

Soient $A$ un anneau, $M$ un $A$ -module, $x$ un idéal de $A$ . On appelle topologie $x$ *-adique* sur $M$ la topologie compatible avec la structure de groupe de $M$ pour laquelle l’ensemble des sous-modules $x^r M$ ( $r \geqslant 0$ ) est un système fondamental de voisinages de zéro (TG, III, p. 5, exemple). Cette topologie est séparée si et seulement si

\bigcap_{r \geqslant 0} x^r = 0 .

Supposons maintenant que l’idéal $x$ soit engendré par une suite $x = (x_1, ..., x_n)$ d’éléments de A. Considérons le A-module gradué $\bigoplus_{r \geq 0} x^r M$ et le A-homomorphisme gradué de degré 0

a_M^x : A[X_1, ..., X_n] \otimes_A M \to \bigoplus_{r \geq 0} x^r M

tel que $a_M^x(P \otimes m) = P(x_1, ..., x_n) m$ si P est un polynôme homogène en $X_1, ..., X_n$ et $m \in M$ . Notons $\mathfrak{d}$ l’idéal de $A[X_1, ..., X_n]$ engendré par les éléments $(x_i X_j - x_j X_i)$ pour $1 \leq i < j \leq n$ . On a $P(x_1, ..., x_n) = 0$ si $P \in \mathfrak{d}$ , de sorte que $a_M^x$ donne par passage au quotient un A-homomorphisme gradué de degré 0

\alpha_M^x : (A[X_1, ..., X_n]/\mathfrak{d}) \otimes_A M \to \bigoplus_{r \geq 0} x^r M .

Par produit tensoriel avec $A/x$ , on déduit de $\alpha_M^x$ un A-homomorphisme gradué de degré 0

\beta_M^x : (A/x)[X_1, ..., X_n] \otimes_A M \to \bigoplus_{r \geq 0} (x^r M/x^{r+1} M) .

Les homomorphismes $a_M^x, \alpha_M^x$ et $\beta_M^x$ sont surjectifs.

Théorème 1

Considérons les conditions suivantes : (i) La suite $x$ est M-régulière (X, p. 158). (ii) La suite $x$ est complètement sécante pour M (X, p. 157, déf. 2). (iii) On a $H_1(x, M) = 0$ . (iv) L’homomorphisme $\alpha_M^x : (A[X_1, ..., X_n]/\mathfrak{d}) \otimes_A M \to \bigoplus_{r \geq 0} x^r M$ est bijectif. (v) L’homomorphisme $\beta_M^x : (A/x)[X_1, ..., X_n] \otimes_A M \to \bigoplus_{r \geq 0} (x^r M/x^{r+1} M)$ est bijectif.

On a alors les implications (i) $\Rightarrow$ (ii) $\Rightarrow$ (iii) $\Leftrightarrow$ (iv) $\Rightarrow$ (v). Si pour $1 \leq i \leq n$ le A-module $M/(x_1 M + \cdots + x_{i-1} M)$ est séparé pour la topologie $x$ -adique, les conditions (i) à (v) sont équivalentes.

Le théorème sera démontré aux nos 8 et 9.

*COROLLAIRE 1. — Si A est noethérien, si le A-module M est de type fini et si les $x_i$ appartiennent au radical de A, les conditions (i) à (v) du théorème sont équivalentes. En effet, sur chacun des modules $M/(x_1 M + \cdots + x_{i-1} M)$ la topologie $x$ -adique est séparée (AC III, § 3, no 3, prop. 6).

Corollaire 2

Supposons que A soit un anneau gradué à degrés positifs, M un A-module gradué borné inférieurement, et les $x_i$ des éléments homogènes de degré > 0 de A. Alors les conditions (i) à (v) du théorème sont équivalentes. La topologie $x$ -adique est en effet séparée pour tout A-module gradué N borné inférieurement, puisque si $N_n = 0$ pour $n < n_0$ on a $x^a N \subset \sum_{j \geq n_0 + a} N_j$ pour tout $a \geq 0$ .

Corollaire 3

Supposons que les modules $M/(x_1M+\cdots+x_{i-1}M)$ soient séparés pour la topologie $\mathfrak{x}$ -adique $(1\leq i\leq n)$ ; soit $p$ un entier compris entre $1$ et $n$ . Pour que la suite $\mathfrak{x}$ soit complètement sécante pour $M$ , il faut et il suffit que la suite $(x_1,\ldots,x_p)$ soit complètement sécante pour $M$ et que la suite $(x_{p+1},\ldots,x_n)$ soit complètement sécante pour $M/(x_1M+\cdots+x_pM)$ .

En effet le corollaire est évident si on remplace dans l’énoncé « suites complètement sécantes » par « suites régulières » ; or les deux notions coïncident ici d’après le théorème.

Remarque

Soit $\mathfrak{x}=(x_1,\ldots,x_n)$ une suite d’éléments de $A$ telle que $H_1(\mathfrak{x},A)=0$ ; alors le noyau de l’homomorphisme surjectif $u:A^n\to\mathfrak{x}$ tel que

u\left(\sum a_i e_i\right)=\sum a_i x_i

est engendré par les éléments

X_j e_i-X_i e_j

; par conséquent, la

A

-algèbre

A[X_1,\ldots,X_n]/\mathfrak{d}

est isomorphe à l’algèbre symétrique

S_A(\mathfrak{x})

(III, p. 69, prop. 4). Il résulte donc du théorème 1 que l’homomorphisme d’algèbres

S_A(\mathfrak{x})\longrightarrow\bigoplus_n \mathfrak{x}^n

déduit de l’injection canonique de

\mathfrak{x}

dans

\bigoplus_n\mathfrak{x}^n

est un isomorphisme. Il en va de même pour l’homomorphisme

S_A(\mathfrak{x}/\mathfrak{x}^2)\longrightarrow\bigoplus_n\mathfrak{x}^n/\mathfrak{x}^{n+1}.

8. Démonstration du théorème 1 : première partie

L’implication (i) $\Rightarrow$ (ii) a déjà été démontrée (X, p. 157, prop. 5). L’implication (ii) $\Rightarrow$ (iii) est évidente ; il en est de même de (iv) $\Rightarrow$ (v), puisque $\beta_M^x$ s’identifie à $\alpha_M^x\otimes 1_{A/\mathfrak{x}}$ .

Pour montrer que (iv) entraîne (iii), considérons l’homomorphisme $(\alpha_M^x)_1$ induit sur les composantes de degré 1. Notons $E$ le $A$ -module gradué $A[X_1,\ldots,X_n]$ ; le $A$ -module $E_1$ est libre de base $X_1,\ldots,X_n$ et $\mathfrak{d}_1$ est le sous- $A$ -module de $E_1$ engendré par les éléments $(x_iX_j-x_jX_i)$ pour $1\leq i<j\leq n$ . Par suite $((E/\mathfrak{d})\otimes_A M)_1$ s’identifie à $K_1(\mathfrak{x},M)/B_1(K_\bullet(\mathfrak{x},M))$ , l’homomorphisme $(\alpha_M^x)_1$ s’identifiant à l’application de $K_1(\mathfrak{x},M)/B_1(K_\bullet(\mathfrak{x},M))$ sur $B_0(K_\bullet(\mathfrak{x},M))$ induite par $d_1$ . Ainsi la nullité de $H_1(\mathfrak{x},M)$ est équivalente à l’injectivité de $(\alpha_M^x)_1$ , d’où l’implication (iv) $\Rightarrow$ (iii).

Pour démontrer que (iii) entraîne (iv), nous utiliserons le lemme suivant :

Lemme 4

Soit $A_0$ l’anneau $\mathbf{Z}[T_1,\ldots,T_n]$ , et soit $u:A_0[X_1,\ldots,X_n]\to A_0[U]$ l’homomorphisme de $A_0$ -algèbres tel que $u(X_i)=T_iU$ . Le noyau de $u$ est l’idéal $\mathfrak{d}_0$ de $A_0[X_1,\ldots,X_n]$ engendré par les éléments $(T_iX_j-T_jX_i)$ pour $1\leq i<j\leq n$ . Si $t$ est l’idéal de $A_0$ engendré par $(T_1,\ldots,T_n)$ , $u$ induit un isomorphisme

\bar{u}:A_0[X_1,\ldots,X_n]/\mathfrak{d}_0\longrightarrow\bigoplus_{r\geq0}t^r.

Il suffit évidemment de démontrer la première assertion. Pour toute suite d’entiers naturels $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ et tout entier $k\in[0,n]$ , notons $P_{\alpha,k}$ le monôme

T_1^{\alpha_1}\cdots T_k^{\alpha_k}X_{k+1}^{\alpha_{k+1}}\cdots X_n^{\alpha_n};

soit $N$ le sous- $\mathbf{Z}$ -module de $A_0[X_1, ..., X_n]$ engendré par les $P_{\alpha, k}$ pour $\alpha \in \mathbf{N}^n$ et $0 \leq k \leq n$ . Nous allons montrer que la restriction de $u$ à $N$ est injective et que $A_0[X_1, ..., X_n] = \mathfrak{d}_0 + N$ ; comme on a $\mathfrak{d}_0 \subset \mathrm{Ker}\,u$ , cela entraînera le lemme.

Observons que $N$ est engendré par l’ensemble $S$ formé de $P_{0,0} = 1$ et de ceux des $P_{\alpha, k}$ pour lesquels $\alpha_k \neq 0$ . Pour prouver l’injectivité de la restriction de $u$ à $N$ , il suffit de montrer que deux éléments distincts de $S$ ont pour image par $u$ des monômes distincts dans $A_0[U]$ . Or on a $u(P_{\alpha, k}) = T^\alpha U^{\sum \alpha_i}_{i \geq k}$ , de sorte que l’égalité $u(P_{\alpha, k}) = u(P_{\alpha', k'})$ entraîne $\alpha = \alpha'$ et $\sum_{i \geq k} \alpha_i = \sum_{i \geq k'} \alpha_i$ . Supposons que $P_{\alpha, k}$ et $P_{\alpha', k'}$ appartiennent à $S$ . Si $\alpha = 0$ , on a alors $k = k' = 0$ ; si $\alpha \neq 0$ , on obtient $k = k'$ puisque $\alpha_k$ et $\alpha_{k'}$ sont différents de zéro, d’où le résultat.

Montrons que tout monôme $T^\alpha X^\beta \in A_0[X_1, ..., X_n]$ est congru modulo $\mathfrak{d}_0$ à un $P_{\eta, k}$ . Pour toute suite $\lambda \in \mathbf{N}^n$ , on notera $i(\lambda)$ (resp. $j(\lambda)$ ) le plus petit (resp. le plus grand) entier $k \in [1, n]$ tel que $\lambda_k \neq 0$ . Dans l’ensemble des monômes $T^\gamma X^\delta$ qui sont congrus à $T^\alpha X^\beta$ modulo $\mathfrak{d}_0$ , choisissons-en un pour lequel l’entier rationnel $j(\gamma) - i(\delta)$ soit minimum ; montrons qu’on a alors $j(\gamma) - i(\delta) < 0$ . Supposons qu’on ait $j(\gamma) \geq i(\delta)$ ; notons $j = j(\gamma), i = i(\delta)$ , et soit $\varepsilon = \inf (\gamma_j, \delta_i)$ . Comme $(T_j^\varepsilon X_i^\varepsilon - T_i^\varepsilon X_j^\varepsilon)$ est divisible par $(T_j X_i - T_i X_j)$ , donc appartient à $\mathfrak{d}_0$ , on voit que $T^\gamma X^\delta$ est congru modulo $\mathfrak{d}_0$ à $T^{\gamma'} X^{\delta'}$ , où $\gamma'_i = \gamma_i + \varepsilon, \gamma'_j = \gamma_j - \varepsilon, \gamma'_k = \gamma_k$ pour $k \neq i, j$ , et $\delta'_i = \delta_i - \varepsilon, \delta'_j = \delta_j + \varepsilon, \delta'_k = \delta_k$ pour $k \neq i, j$ . Comme $\gamma'_j$ ou $\delta'_i$ est nul, on a $j(\gamma') - i(\delta') < j(\gamma) - i(\delta)$ ce qui contredit le caractère minimal de $j(\gamma) - i(\delta)$ .

Par conséquent on a $j(\gamma) < i(\delta)$ , d’où $T^\gamma X^\delta \in N$ , ce qui achève de prouver le lemme.

Démontrons que (iii) implique (iv). Considérons l’anneau $A_0 = \mathbf{Z}[T_1, ..., T_n]$ et l’idéal t de $A_0$ engendré par $T_1, ..., T_n$ . Munissons $M$ de la structure de $A_0$ -module pour laquelle $T_i m = x_i m$ pour $m \in M, 1 \leq i \leq n$ . D’après X, p. 155, $H_i(x, M)$ s’identifie canoniquement à $H_i(T, M)$ .

Comme la suite $T$ est régulière pour $A_0$ , il résulte de l’implication (i) $\Rightarrow$ (ii) que le complexe $K.(T, A_0)$ définit une résolution libre du $A_0$ -module $A_0/t$ . Remarquons que celui-ci s’identifie à $\mathbf{Z}$ , muni de la structure de $A_0$ -module telle que $T_i \mathbf{Z} = 0$ pour $1 \leq i \leq n$ . Ainsi la condition (iii) est équivalente à $\mathrm{Tor}_1^{A_0}(M, \mathbf{Z}) = 0$ .

Montrons que (iii) entraîne $\mathrm{Tor}_1^{A_0}(M, A_0/t^r) = 0$ pour tout $r \geq 1$ . Cela résulte de ce qui précède pour $r = 1$ . Dans le cas général, considérons la suite exacte

0 \to t^r/t^{r+1} \to A_0/t^{r+1} \to A_0/t^r \to 0,

Le $A_0$ -module $t^r/t^{r+1}$ est isomorphe à un produit fini d’exemplaires de $\mathbf{Z}$ ; on a donc $\mathrm{Tor}_1^{A_0}(M, t^r/t^{r+1}) = 0$ . On en déduit, par récurrence sur $r$ , que

\mathrm{Tor}_1^{A_0}(M, A_0/t^r) = 0 \quad \text{pour tout } r,

La suite exacte (16) fournit donc, par produit tensoriel avec $M$ , une suite exacte

0 \to (t^r/t^{r+1}) \otimes_{A_0} M \to M/x^{r+1} M \to M/x^r M \to 0

d'où un isomorphisme de $(t'/{t'}^{r+1}) \otimes_{A_0} M$ sur $x' M/{x'}^{r+1} M$ . En considérant la suite exacte $0 \to {t'}^{r+1} \to t' \to t'/{t'}^{r+1} \to 0$ , on voit alors par récurrence sur $r$ que l’application $m_r : t' \otimes_{A_0} M \to x' M$ , induite par l’opération de $A_0$ dans $M$ , est un isomorphisme.

Pour démontrer (iv), il reste à observer que le diagramme

\begin{array}{ccc} (A_0[X_1, ..., X_n]/\mathscr{D}_0) \otimes_{A_0} M & \xrightarrow{\bar{u} \otimes 1_M} & \bigoplus_{r \geq 0} (t' \otimes_{A_0} M) \\ \downarrow e & & \downarrow \oplus m_r \\ (A[X_1, ..., X_n]/\mathscr{D}) \otimes_A M & \xrightarrow{\alpha_M^x} & \bigoplus_{r \geq 0} x' M \end{array}

où $e$ est l’isomorphisme canonique d’extension des scalaires (II, p. 85, prop. 6), est commutatif, et à appliquer le lemme 4.

9. Démonstration du théorème 1 : deuxième partie

Considérons de nouveau la suite exacte

(16)

0 \longrightarrow t'/{t'}^{r+1} \xrightarrow{i_r} A_0/{t'}^{r+1} \xrightarrow{p_r} A_0/t' \longrightarrow 0

et la suite exacte de modules de torsion associée

(18)

\begin{array}{cccccc} \mathrm{Tor}_1^{A_0}(A_0/{t'}^{r+1}, M) & \longrightarrow & \mathrm{Tor}_1^{A_0}(A_0/t', M) \\ \longrightarrow (t'/{t'}^{r+1}) \otimes_{A_0} M & \xrightarrow{i_r \otimes 1_M} & (A_0/{t'}^{r+1}) \otimes_{A_0} M & \xrightarrow{p_r \otimes 1_M} & (A_0/t') \otimes_{A_0} M & \longrightarrow 0 . \end{array}

Le noyau de $p_r \otimes 1_M$ s’identifie à $x' M/{x'}^{r+1} M$ ; par ailleurs $t'/{t'}^{r+1}$ est annulé par les $T_i$ et s’identifie au composant homogène de degré $r$ de $A_0$ , de sorte que l’homomorphisme $(t'/{t'}^{r+1}) \otimes_{A_0} M \to x' M/{x'}^{r+1} M$ déduit de $i_r \otimes 1_M$ s’identifie à la composante homogène de degré $r$ de l’homomorphisme $\beta_M^x$ . Il résulte donc de la suite exacte (18) que la condition (v) est équivalente à

(v') : l’homomorphisme $\mathrm{Tor}_1^{A_0}(p_r, 1_M)$ : $\mathrm{Tor}_1^{A_0}(A_0/{t'}^{r+1}, M) \to \mathrm{Tor}_1^{A_0}(A_0/t', M)$ est surjectif pour tout $r \geq 1$ .

Il nous reste à prouver l’implication (v) $\Rightarrow$ (i) lorsque les modules

M/(x_1 M + \cdots + x_{i-1} M)

sont séparés pour la topologie

x

-adique (

1 \leq i \leq n

). Notons

\overline{M}

A

-module

M/x_1 M

. Par définition, la suite

x

est régulière pour

M

si et seulement si

(x_1)_M

est injectif et la suite

x' = (x_2, ..., x_n)

est régulière pour

\overline{M}

. Raisonnant par récurrence sur

n

, il suffit donc de prouver que, si

M

est séparé pour la topologie

x

-adique et si

\beta_M^x

est bijectif, alors

(x_1)_M

est injectif et

\beta_M^{x'}

est bijectif. Or la bijectivité de

\beta_M^x

implique en particulier que l’homothétie de rapport

x_1

dans

\bigoplus r x' M/{x'}^{r+1} M

est injective, donc que

\mathrm{Ker}\,(x_1)_M \subset \bigcap_i x^i M

et par conséquent que

(x_1)_M

est injectif si la topologie

x

-adique sur

M

est séparée.

On est ainsi ramené à démontrer que si $(x_1)_M$ est injectif et si $M$ vérifie la condition (v'), alors $\overline{M}$ vérifie la condition (v') relativement à la suite $x'$ .

On a par hypothèse une suite exacte

0 \longrightarrow M \xrightarrow{(x_1)_M} M \longrightarrow \overline{M} \longrightarrow 0;

posons

\overline{A}_0 = A_0 / T_1 A_0,\ \overline{t} = t \overline{A}_0

. Soit

q : L \to M

une résolution libre du

A_0

-module

M

; comme l’homothétie de rapport

T_1

est injective dans

A_0

, elle est injective dans

L

, et on a une suite exacte de complexes

0 \longrightarrow L \xrightarrow{(x_1)_L} L \longrightarrow \overline{L} \longrightarrow 0

avec

\overline{L} = L / x_1 L

, et un diagramme commutatif

\begin{array}{ccc} 0 & \longrightarrow & L \xrightarrow{(x_1)_L} L \longrightarrow \overline{L} \longrightarrow 0 \\ & & \downarrow q \downarrow q \downarrow \overline{q} \\ 0 & \longrightarrow & M \xrightarrow{(x_1)_M} M \longrightarrow \overline{M} \longrightarrow 0 . \end{array}

Comme $q$ est un homologisme, $\overline{q} : \overline{L} \to \overline{M}$ est une résolution libre du $\overline{A}_0$ -module $\overline{M}$ (cor. 1, p. 30). Pour tout $\overline{A}_0$ -module $P$ , on a un isomorphisme canonique

P \otimes_{A_0} L \to P \otimes_{\overline{A}_0} \overline{L},

d’où par passage à l’homologie un isomorphisme

\varphi_P : \mathrm{Tor}_1^{A_0}(P, M) \to \mathrm{Tor}_1^{\overline{A}_0}(P, \overline{M}) .

u : P \to P'

est un

\overline{A}

-homomorphisme, alors

\varphi_{P'} \circ \mathrm{Tor}_1^{A_0}(u, 1_M) = \mathrm{Tor}_1^{\overline{A}_0}(u, 1_M) \circ \varphi_P .

Cela étant, supposons la condition (v') vérifiée pour

M

, et démontrons qu’elle est vraie pour

\overline{M}

. Soit

r

un entier

\geqslant 1

; on a un diagramme commutatif à lignes exactes

\begin{array}{ccccccccc} 0 & \longrightarrow & A_0 / t^r & \xrightarrow{T_1} & A_0 / t^{r+1} & \longrightarrow & \overline{A}_0 / \overline{t}^{r+1} & \longrightarrow & 0 \\ & & \downarrow p_{r-1} & & \downarrow p_r & & \downarrow \overline{p}_r & & \\ 0 & \longrightarrow & A_0 / t^{r-1} & \xrightarrow{T_1} & A_0 / t^r & \longrightarrow & \overline{A}_0 / \overline{t}^r & \longrightarrow & 0 \end{array}

d’où l’on déduit un diagramme commutatif à lignes exactes

\begin{array}{ccccccccccc} \mathrm{Tor}_1^{A_0}(A_0 / t^{r+1}, M) & \longrightarrow & \mathrm{Tor}_1^{A_0}(\overline{A}_0 / \overline{t}^{r+1}, M) & \longrightarrow & M / x^r M & \xrightarrow{x_1} & M / x^{r+1} M \\ \mathrm{Tor}_1(p_{r, r'}) & \downarrow & \mathrm{Tor}_1(\overline{p}_{r, 1}) & \downarrow & & & \downarrow \\ \mathrm{Tor}_1(A_0 / t^r, M) & \longrightarrow & \mathrm{Tor}_1^{A_0}(\overline{A}_0 / \overline{t}^r, M) & \longrightarrow & M / x^{r-1} M & \xrightarrow{x_1} & M / x^r M . \end{array}

Or la multiplication par

x_1

définit une injection de

M / x^r M

dans

M / x^{r+1} M

: cela résulte aussitôt, par récurrence sur

r

, de la suite exacte

0 \to x^{r-1} M / x^r M \to M / x^r M \to M / x^{r-1} M \to 0

et de l’injectivité de l’homothétie de rapport $x_1$ dans $\bigoplus_{r \geq 0} (x^r M / x^{r+1} M)$ . La condition (v) entraîne donc que l’homomorphisme $\operatorname{Tor}_{1}^{\overline{A}_0} (\overline{p}_r, 1_M)$ est surjectif pour tout $r \geq 1$ . Par composition avec les isomorphismes $(\varphi_{\overline{A}_0/\overline{t}^{r+1}})^{-1}$ et $\varphi_{\overline{A}_0/\overline{t}^r}$ , on en déduit que l’homomorphisme

\operatorname{Tor}_{1}^{\overline{A}_0} (\overline{p}_r, 1_M) : \operatorname{Tor}_{1}^{\overline{A}_0} (\overline{A}_0 / \overline{t}^{r+1}, M) \to \operatorname{Tor}_{1}^{\overline{A}_0} (\overline{A}_0 / \overline{t}^r, M)

est surjectif pour $r \geq 1$ , d’où la condition (v’) pour $\overline{M}$ . Ceci achève la démonstration du théorème.

10. Classe d’extensions associée à une suite régulière

Soient $A$ un anneau, $M$ un $A$ -module, $x = (x_1, ..., x_n)$ une suite d’éléments de $A$ . Notons $M_i$ le $A$ -module $M / (x_1 M + \cdots + x_{i-1} M)$ pour $i = 0, ..., n+1$ , de sorte que $M_0$ et $M_1$ s’identifient à $M$ et que $M_{n+1} = M / (x) M$ . Notons

\overline{x}_i : M_{i-1} \to M_i , \quad i = 1, ..., n ,

le $A$ -homomorphisme composé de l’homothétie de $M_{i-1}$ de rapport $x_i$ et de la projection canonique de $M_{i-1}$ sur $M_i$ . Notons enfin $p : M_n \to M / (x) M$ la projection canonique. Le diagramme

(19)

0 \longrightarrow M \xrightarrow{\overline{x}_1} M_1 \xrightarrow{\overline{x}_2} M_2 \longrightarrow \cdots \xrightarrow{\overline{x}_n} M_n \xrightarrow{p} M / (x) M \longrightarrow 0

est une suite exacte si et seulement si la suite $x$ est $M$ -régulière. Supposons désormais la suite $x$ régulière pour $M$ . L’élément $\theta_x \in \operatorname{Ext}_A^n (M / (x) M, M)$ associé à la suite exacte (19) est aussi dit associé à la suite $M$ -régulière $x$ .

Soit $i$ un entier, $1 \leq i \leq n$ . Notons que la suite (19) peut se décomposer en les deux suites exactes

(20)

0 \longrightarrow M \xrightarrow{\overline{x}_1} M_1 \xrightarrow{\overline{x}_2} M_2 \longrightarrow \cdots \xrightarrow{\overline{x}_i} M_i \longrightarrow M / (x_1 M + \cdots + x_i M) \longrightarrow 0

(21)

0 \longrightarrow M / (x_1 M + \cdots + x_i M) \xrightarrow{\overline{x}_{i+1}} M_{i+1} \longrightarrow \cdots \longrightarrow M_n \xrightarrow{p} M / (x) M \longrightarrow 0

qui ne sont autres que les suites exactes associées à la suite $(x_1, ..., x_i)$ qui est régulière pour $M$ et à la suite $(x_{i+1}, ..., x_n)$ qui est régulière pour $M / (x_1 M + \cdots + x_i M)$ . Notant

\theta_{(x_1, ..., x_i)} \in \operatorname{Ext}_A^i (M / (x_1 M + \cdots + x_i M), M)

\theta_{(x_{i+1}, ..., x_n)} \in \operatorname{Ext}_A^{n-i} (M / (x) M, M / (x_1 M + \cdots + x_i M)) ,

les classes d’extensions associées à (20) et (21), on a d’après X, p. 118, prop. 3

(22)

\theta_{(x_1, \ldots, x_n)} = \theta_{(x_1, \ldots, x_i)} \circ \theta_{(x_{i+1}, \ldots, x_n)} .

Par ailleurs, d’après la prop. 5 (X, p. 157), le complexe de Koszul $\mathbf{K}.(x, M)$ est acyclique en degrés $\neq n$ , d’où une suite exacte

(23)

0 \longrightarrow M \xrightarrow{\partial^0} \mathbf{K}^1(x, M) \xrightarrow{\partial^1} \mathbf{K}^2(x, M) \xrightarrow{\partial^2} \cdots \longrightarrow \mathbf{K}^n(x, M) \xrightarrow{q} M/(x)M \longrightarrow 0 ,

où on a identifié

\mathbf{K}^0(x, M)

M

et où

q

applique chaque élément

m \in \mathbf{K}^n(x, M)

sur la classe dans

M/(x)M

m(1, 2, \ldots, n) \in M

Proposition 8

Supposons la suite x régulière pour M. L’élément de $\mathrm{Ext}_A^n(M/(x)M, M)$ associé à la suite exacte (23) est $(-1)^{n(n+1)/2} \theta_x$ .* Pour $i = 0, 1, \ldots, n$ , définissons une application A-linéaire

a^i : \mathbf{K}^i(x, M) \to M_i = M/(x_1 M + \cdots + x_{i-1} M)

comme suit : si

m \in \mathbf{K}^i(x, M)

a^i(m)

est la classe dans

M_i

de l’élément

m(1, 2, \ldots, i)

M

. Il est clair que

a^0

est l’application identique de

M

et que

p \circ a^n = q

. Par ailleurs

a^{i+1} \circ \partial^i(m)

est l’image dans

M_{i+1}

de l’élément

\sum_{k=1}^{i+1} (-1)^{k+1} x_k m(1, 2, \ldots, k-1, k+1, \ldots, i+1) .

Comme

x_k

annule

M_{i+1}

pour

k = 1, \ldots, i

a^{i+1} \circ \partial^i(m)

est aussi l’image de

(-1)^i x_{i+1} m(1, 2, \ldots, i) ,

donc

a^{i+1} \circ \partial^i = (-1)^i \overline{x}_{i+1} \circ a^i .

D’après X, p. 120, cor. 1 et 2, l’élément de

\mathrm{Ext}_A^n(M/(x)M, M)

associé à (23) est égal à

\prod_{i=1}^n (-1)^i \cdot \theta_x

, d’où l’assertion.

Corollaire

Supposons de plus les modules $M/(x_1 M + \cdots + x_{i-1} M)$ séparés pour la topologie (x)-adique, et soit $(a_{ij}) \in \mathrm{GL}_n(A)$ . Posons*

y_i = \sum_j a_{ij} x_j \quad \text{et} \quad y = (y_1, \ldots, y_n) .

Alors la suite y est régulière pour M, et on a $\theta_y = \det(a_{ij})^{-1} \theta_x$ . En effet, la suite y est régulière pour M d’après la prop. 6 (X, p. 158) et le théorème 1 (X, p. 160) ; la dernière assertion résulte de la prop. 8, et de la prop. 4 de X, p. 119.

Proposition 9

Supposons la suite x régulière pour M. Si N est un A-module tel que $(x)N = 0$ , on a $\mathrm{Ext}_A^i(N, M) = 0$ pour $i < n$ , et l’application $\alpha \mapsto \theta_x \circ \alpha$ * de Hom_A (N, M/(x) M) dans Ext^n_A (N, M) (qui est aussi l’homomorphisme de liaison itéré associé à (19), cf. X, p. 127, cor. 3) est bijective.

Il s’agit de prouver que l’homomorphisme $\psi^i : \alpha \mapsto \theta_x \circ \alpha$ de $\mathrm{Ext}_A^{i-n}(N, M/(x) M)$ dans $\mathrm{Ext}_A^i(N, M)$ est bijectif pour $i \leq n$ . Raisonnons par récurrence sur $n$ , l’assertion étant triviale pour $n = 0$ . Posons $M_1 = M/x_1 M$ , $x' = (x_2, ..., x_n)$ , de sorte que $x'$ est $M_1$ -régulière. D’après l’hypothèse de récurrence, l’homomorphisme

\overline{\psi}^{i-1} : \alpha \mapsto \theta_{x'} \circ \alpha

de $\mathrm{Ext}_A^{i-n}(N, M/(x) M)$ dans $\mathrm{Ext}_A^{i-1}(N, M_1)$ est bijectif pour $i < n$ . Par ailleurs, considérons la suite exacte

0 \longrightarrow M \xrightarrow{(x_1)_M} M \longrightarrow M_1 \longrightarrow 0 ;

l’homomorphisme de liaison $\mathrm{Ext}_A^i(N, M_1) \to \mathrm{Ext}_A^{i+1}(N, M)$ associé est $\varphi^i : \beta \mapsto \theta_{x_1} \circ \beta$ (X, p. 125, prop. 5) ;

comme on a $\mathrm{Ext}^i(1_N, (x_1)_M) = \mathrm{Ext}^i((x_1)_N, 1_M) = 0$ , on en déduit des suites exactes

0 \longrightarrow \mathrm{Ext}_A^i(N, M) \longrightarrow \mathrm{Ext}_A^i(N, M_1) \xrightarrow{\varphi^i} \mathrm{Ext}_A^{i+1}(N, M) \longrightarrow 0 .

Comme $\mathrm{Ext}_A^i(N, M_1) = 0$ pour $i < n - 1$ , on en déduit que $\mathrm{Ext}_A^{i+1}(N, M) = 0$ pour $i < n - 1$ , c’est-à-dire $i + 1 < n$ ; il s’ensuit que $\varphi^i$ est bijectif pour $i < n$ . Comme $\psi^i(\alpha) = \theta_x \circ \alpha = \theta_{x_1} \circ \theta_{x'} \circ \alpha = \varphi^{i-1} \circ \overline{\psi}^i(\alpha)$ pour $\alpha \in \mathrm{Ext}_A^{i-n}(N, M/(x) M)$ , $\psi^i$ est bien bijectif pour $i \leq n$ .

EXERCICES

Exercices

See the exercises for § 9.