Exercice 24, § 8

On note dhf (A) (resp. dif (A), resp. tdf (A)) la borne supérieure des dimensions projectives (resp. injectives, resp. plates) des A-modules pour lesquels cette dimension est finie. Si A est de dimension homologique finie, on a dhf(A) = dif(A) = dh(A) et tdf(A) = td(A). Si td(A) < ∞, on a tdf(A) = td(A). a) Montrer que l’on a tdf (A) ≤ dif (A°) ; il y a égalité si A est noethérien à gauche (utiliser X, p. 189, exercice 3). b) On suppose A noethérien à gauche. Montrer que l’on a dhf(A) ≤ di_A(A_s). Si di_A(A_s) et dif(A) sont finies, montrer qu’elles sont égales (utiliser l’exercice 2, p. 202). c) Soient G un groupe fini non réduit à l’élément neutre, A l’anneau $\mathbf{Z}^{(G)}$. Montrer que l’on a

(cf. exercice 20, p. 193). d) On suppose l’anneau A auto-injectif (cf. X, p. 171, exercice 26), non semi-simple. Montrer que tout A-module non projectif est de dimension projective et de dimension injective infinies. En déduire que l’on a $\mathrm{dh}(A) = + \infty , \mathrm{dhf}(A) = \mathrm{dif}(A) = \mathrm{tdf}(A) = \mathrm{di}_A(A_s) = 0$.