Exercice 25, § 8

On note $A^e$ la k-algèbre $A \otimes_k A^*$, et on considère A comme un $A^e$-module à gauche. On pose

Si n est un entier $\geq 0$, l’inégalité $\mathrm{da}_k(A) \leq n$ est donc équivalente à la nullité de $H^{n+1}(A, M)$ pour tout (A, A)-bimodule M (X, p. 195, exercice 26). On a $\mathrm{da}_k(A) = \mathrm{da}_k(A^o)$. a) Montrer que l’on a $\mathrm{da}_k(M_n(k)) = 0$ et $\mathrm{da}_k(k[X_1, ..., X_n]) = n$ pour tout $n \geq 0$. b) Si k est un corps, on a $\mathrm{da}_k(A) = 0$ si et seulement si la k-algèbre A est absolument semi-simple (cf. VIII, § 11, no 3, th. 2). c) Soit M un k-module libre. Démontrer que l’on a $\mathrm{da}_k(T_k(M)) = 1$ (si $(e_i)_{i \in I}$ est une base de M, prouver que les éléments $(e_i \otimes 1 - 1 \otimes e_i)$ forment une base de l’idéal à gauche de $A^e$ noyau de la multiplication $A \otimes_k A \to A$, avec $A = T_k(M)$). d) On suppose désormais le k-module A projectif. Soit $\rho : k \to k'$ un homomorphisme d’anneaux commutatifs ; montrer que l’on a $\mathrm{da}_k(A \otimes_k k') \leq \mathrm{da}_k(A)$. Si $\rho$ est injectif et si $\rho(k)$ est facteur direct du k-module $k'$, on a égalité (utiliser X, p. 195, exercice 26, c)). e) Soit B une seconde k-algèbre (associative et unifère), projective sur k. Montrer que Si de plus k est un corps et A et B sont de dimension finie sur k, il y a égalité (utiliser X, p. 195, exercice 26, d)). f) On suppose que k est un corps. Démontrer les inégalités $\mathrm{dh}(A) \leq \mathrm{da}_k(A)$ et $\mathrm{dh}(A^*) \leq \mathrm{da}_k(A)$ (cf. X, p. 196, exercice 26, e)).