Exercice 28, § 8

Soit $G$ un groupe. On appelle dimension cohomologique de $G$, et on note $\mathrm{dc}(G)$, la dimension projective du $\mathbf{Z}^{(G)}$-module $\mathbf{Z}$. Si $n$ est un entier, on a donc $\mathrm{dc}(G) \leq n$ si et seulement si $H^q(G, M) = 0$ pour tout $\mathbf{Z}^{(G)}$-module $M$ et tout $q > n$.

a) Démontrer que l’on a $\mathrm{da}_\mathbf{Z}(\mathbf{Z}^{(G)}) = \mathrm{dc}(G)$ (utiliser l’exercice 26 et l’exercice 27, d), p. 196).

b) Si $G$ est un groupe libre non réduit à l’élément neutre, on a $\mathrm{dc}(G) = 1$.

c) Soit $H$ un sous-groupe de $G$; démontrer l’inégalité $\mathrm{dc}(H) \leq \mathrm{dc}(G)$. Si $\mathrm{dc}(G) < \infty$ et si $H$ est d’indice fini dans $G$, montrer que $\mathrm{dc}(H) = \mathrm{dc}(G)$ (montrer que pour $q = \mathrm{dc}(G)$, l’homomorphisme

de l’exercice 14, p. 191, est surjectif).

d) Montrer que la dimension cohomologique d’un groupe fini non réduit à l’élément neutre est infinie. En déduire que si $\mathrm{dc}(G) < \infty$, tout élément de $G$ distinct de l’élément neutre est d’ordre infini (on dit alors que $G$ est sans torsion).

e) Si $G$ est sans torsion et si $H$ est un sous-groupe d’indice fini de $G$, montrer que l’on a $\mathrm{dc}(H) = \mathrm{dc}(G)$. (Si $(P, p)$ est une résolution projective du $\mathbf{Z}^{(H)}$-module $\mathbf{Z}$ et si $(G : H) = n$, définir sur le $\mathbf{Z}^{(H)}$-module gradué $T^n_\mathbf{Z}(P)$ une structure de $\mathbf{Z}^{(G)}$-complexe de façon que $(T^n_\mathbf{Z}(P), p^{\otimes n})$ soit une résolution projective du $\mathbf{Z}^{(G)}$-module $\mathbf{Z}$.)

f) Si $H$ est un sous-groupe distingué de $G$, montrer que l’on a