Exercice 11, § 9

Soient A un anneau local noethérien, m son idéal maximal, $k = A/m$. Soit M un A-module non nul de type fini. On appelle profondeur de M, et on note prof (M), la borne supérieure des entiers n pour lesquels il existe une suite $(x_1, ..., x_n)$ d’éléments de m qui soit complètement sécante pour M. a) Montrer que l’on a $\operatorname{prof}(M) = 0$ si et seulement si m est associé à M (X, p. 172, exercice 28), autrement dit, si M contient un sous-module isomorphe à k (observer qu’un idéal contenu dans une réunion d’idéaux premiers est nécessairement contenu dans l’un d’eux).

b) Montrer que prof (M) est la borne inférieure des entiers $n$ pour lesquels $\operatorname{Ext}_A^n(k, M)$ est non nul (raisonner par récurrence sur $n$). Si $\operatorname{prof}(M) = n$, toute suite $(x_1, ..., x_p)$ d’éléments de $m$ complètement sécante pour $M$ ($p \leq n$) peut être prolongée en une suite $(x_1, ..., x_n)$ dans $m$ complètement sécante pour $M$.

c) Si $(x_1, ..., x_k)$ est une suite d’éléments de $m$ complètement sécante pour $M$, montrer que

d) On suppose que $M$ est de dimension projective finie. Démontrer l’égalité $\mathrm{dp}_A(M) + \operatorname{prof}(M) = \operatorname{prof}(A)$ (raisonner par récurrence sur $\mathrm{dp}_A(M)$).

e) Montrer que $\operatorname{prof}(A)$ est la borne supérieure des dimensions projectives des $A$-modules qui sont de type fini et de dimension projective finie.