Exercice 12, § 9

Soient $A$ un anneau local noethérien, $m$ son idéal maximal. a) Montrer que si $0 < \operatorname{dh}(A) < \infty$, il existe un élément non diviseur de zéro dans $m - m^2$ (montrer comme dans l’exercice 11, a) que $m$ serait sinon associé à $A$, d’où une suite exacte

aboutir à une contradiction en utilisant l’exercice 16, p. 203). b) Soit $n$ un entier. Montrer que l’on a $\operatorname{dh}(A) = n$ si et seulement s’il existe une suite $(x_1, ..., x_n)$ complètement sécante pour $A$, engendrant $m$ (raisonner par récurrence sur $n$, en utilisant a) et l’exercice 14, p. 203). On dit qu’un anneau local est régulier s’il est noethérien et de dimension homologique finie.