Exercice 13, § 9

Soit $A$ un anneau local régulier (exercice 14) de dimension homologique $n$; on note $m$ son idéal maximal et $k = A/m$. a) Montrer que l’on a $\dim_k(m/m^2) = n$. b) Montrer que la $k$-algèbre $\bigoplus_{r \geq 0} (m^r/m^{r+1})$ est isomorphe à une algèbre de polynômes en $n$ indéterminées. c) Si $n = 0$, $A$ est un corps. Si $n = 1$, montrer que $A$ est un anneau principal et donc un anneau de valuation discrète (montrer que $A$ est intègre en observant que $m \cap m^n = \bigcap m^n$, d’où $\bigcap m^n = 0$). d) Montrer que l’anneau $A[[T]]$ est régulier.