Exercice 14, § 9

Soient $A$ un anneau, $a$ un idéal de $A$. On considère la $(A/a)$-algèbre graduée alternée $\operatorname{Tor}^A(A/a, A/a)$ (cf. X, p. 201, exercice 9) et l’homomorphisme de $(A/a)$-algèbres graduées $\theta : \Lambda_{A/a}(a/a^2) \to \operatorname{Tor}^A(A/a, A/a)$ déduit de l’isomorphisme $a/a^2 \to \operatorname{Tor}_1^A(A/a, A/a)$ (X, p. 73). Montrer que si l’idéal $a$ est engendré par une suite complètement sécante dans $A$, $\theta$ est un isomorphisme.