Exercice 15, § 9

Soient $A$ un anneau noethérien, $a$ un idéal contenu dans le radical de $A$. On suppose que le $(A/a)$-module $a/a^2$ est libre et que l’homomorphisme $\theta_2 : \Lambda_{A/a}^2(a/a^2) \to \operatorname{Tor}_2^A(A/a, A/a)$ (exercice 14) est surjectif. Montrer que $a$ est engendré par une suite complètement sécante dans $A$. (Si $x$ est une famille minimale de générateurs de $a$, montrer à l’aide de l’exercice 7 (ou directement) que $\operatorname{Coker}(\theta_2)$ est isomorphe à $H_1(x, A) \otimes_A A/a$.)