Exercice 16, § 9

Soient $A$ un anneau local noethérien, $m$ son idéal maximal, $k = A/m$. Montrer que l’homomorphisme de $k$-algèbres graduées $\theta : \Lambda_k(m/m^2) \to \operatorname{Tor}^A(k, k)$ est injectif : si $\theta_2$ est bijectif, l’anneau $A$ est régulier (exercice 12). (Si $x$ est un système minimal de générateurs de $m$, montrer que le complexe $K(x, A)$ vérifie les conditions de l’exercice 14, p. 182 ; utiliser les exercices 4 et 15.)