Exercice 17, § 9

Soit $A$ un anneau tel que le $A$-module $A_s$ soit de dimension injective finie (X, p. 202, exercice 4 ; un anneau local régulier (exercice 12) satisfait cette propriété). a) Soit $x$ un élément non diviseur de zéro et non inversible dans $A$. Montrer que l’on a

(Soit $0 \to A \to I^0 \to I^1 \to \cdots$ une résolution injective minimale (X, p. 182, exercice 13) de $A$; montrer que le complexe $\operatorname{Hom}_A(A/Ax, I^1) \to \operatorname{Hom}_A(A/Ax, I^2) \to \cdots$ définit une résolution injective minimale du $(A/Ax)$-module $A/Ax$.) b) On suppose désormais que l’anneau $A$ est local noethérien. Démontrer l’égalité $\operatorname{di}(A) = \operatorname{prof}(A)$ (exercice 11 ; raisonner par récurrence sur $\operatorname{di}(A)$). c) Soit $(x_1, ..., x_n)$ une suite complètement sécante pour $A$, contenue dans l’idéal maximal de $A$, avec $n = \operatorname{di}(A)$. Montrer que l’anneau $A$ est auto-injectif (X, p. 171, exercice 26).