Exercice 18, § 9

Soient $A$ un anneau noethérien, $\mathscr{C}$ un ensemble stable de classes de $A$-modules (X, p. 40), $x = (x_1, ..., x_n)$ une suite d’éléments de $A$, $x$ l’idéal engendré par $x$. On note $\mathscr{C}_x$ l’ensemble des éléments de $\mathscr{C}$ qui sont annulés par $x$. Soit $M$ un $A$-module de type fini. a) Démontrer que pour tout $i \geqslant 0$, il existe un élément $M_i$ de $\mathscr{C}_x$ tel que l’on ait

dans $K(\mathscr{C}_x)$ (raisonner par récurrence sur $n$, en utilisant la prop. 4, p. 157 ; dans le cas $n = 1$, considérer les puissances successives de l’endomorphisme $(x_1)_M$). b) On suppose que $A/x$ est de longueur finie. Montrer qu’il existe des entiers positifs $m_i$ ($i \geqslant 0$) tels que l’on ait $\operatorname{long} H_i(x, M) = m_i + m_{i+1}$.