Introduction

Faire de l’Algèbre, c’est essentiellement calculer, c’est-à-dire effectuer, sur des éléments d’un ensemble, des « opérations algébriques », dont l’exemple le plus connu est fourni par les « quatre règles » de l’arithmétique élémentaire.

Ce n’est pas ici le lieu de retracer le lent processus d’abstraction progressive par lequel la notion d’opération algébrique, d’abord restreinte aux entiers naturels et aux grandeurs mesurables, a peu à peu élargi son domaine, à mesure que se généralisait parallèlement la notion de « nombre », jusqu’à ce que, dépassant cette dernière, elle en vînt à s’appliquer à des éléments qui n’avaient plus aucun caractère « numérique », par exemple aux permutations d’un ensemble (voir Note historique de chap. I). C’est sans doute la possibilité de ces extensions successives, dans lesquelles la forme des calculs restait la même, alors que la nature des êtres mathématiques soumis à ces calculs variait considérablement, qui a permis de dégager peu à peu le principe directeur des mathématiques modernes, à savoir que les êtres mathématiques, en eux-mêmes, importent peu : ce qui compte, ce sont leurs relations (voir Livre I). Il est certain, en tout cas, que l’Algèbre a atteint ce niveau d’abstraction bien avant les autres parties de la Mathématique, et il y a longtemps déjà qu’on s’est accoutumé à la considérer comme l’étude des opérations algébriques, indépendamment des êtres mathématiques auxquels elles sont susceptibles de s’appliquer.

Dépouillée de tout caractère spécifique, la notion commune sous-jacente aux opérations algébriques usuelles est fort simple : effectuer une opération algébrique sur deux éléments $a, b$ d’un même ensemble $E$, c’est faire correspondre au couple $(a, b)$ un troisième élément bien déterminé $c$ de l’ensemble $E$. Autrement dit, il n’y a rien de plus dans cette notion que celle de fonction : se donner une opération algébrique, c’est se donner une fonction, définie dans $E \times E$, et prenant ses valeurs dans $E$; la seule particularité réside dans le fait que l’ensemble de définition de la fonction est le produit de deux ensembles identiques à l’ensemble où la fonction prend ses valeurs; c’est à une telle fonction que nous donnons le nom de loi de composition.

A côté de ces lois « internes », on a été conduit (principalement sous l’influence de la Géométrie) à considérer un autre type de « loi de composition »; ce sont les « lois d’action », où, en dehors de l’ensemble $E$ (qui reste pour ainsi dire au premier plan) intervient un ensemble auxiliaire $\Omega$, dont les éléments sont qualifiés d’opérateurs : la loi faisant cette fois correspondre à un couple $(\alpha, a)$ formé d’un opérateur $\alpha \in \Omega$ et d’un élément $a \in E$, un second élément $b$ de $E$. Par exemple, une homothétie de centre donné, dans l’espace euclidien $E$, fait correspondre, à un nombre réel $k$ (le « rapport d’homothétie », qui est ici l’opérateur) et à un point $A$ de $E$, un autre point $A’$ de $E$: c’est une loi d’action dans $E$.

Conformément aux définitions générales (E, IV, p. 4), la donnée, dans un ensemble $E$, d’une ou plusieurs lois de composition ou lois d’action définit une structure sur $E$; c’est aux structures définies de cette manière que nous réservons, de façon précise, le nom de structures algébriques, et c’est l’étude de ces structures qui constitue l’Algèbre.

Il y a de nombreuses espèces (E, IV, p. 4) de structures algébriques, caractérisées, d’une part par les lois de composition ou lois d’action qui les définissent, de l’autre par les axiomes auxquels sont assujetties ces lois. Bien entendu, ces axiomes n’ont pas été choisis arbitrairement, mais ne sont autres que les propriétés appartenant à la plupart des lois qui interviennent dans les applications, telles que l’associativité, la commutativité, etc. Le chapitre I est essentiellement consacré à l’exposé de ces axiomes et des conséquences générales qui en découlent; on y fait aussi une étude plus détaillée des deux espèces de structures algébriques les plus importantes, celle de groupe (où n’intervient qu’une loi de composition) et celle d’anneau (à deux lois de composition), dont la structure de corps est un cas particulier.

Au chapitre I sont aussi définis les groupes à opérateurs et anneaux à opérateurs, où, en plus des lois de composition, interviennent une ou plusieurs lois d’action. Les plus importants des groupes à opérateurs sont les modules, dans lesquels rentrent en particulier les espaces vectoriels, qui jouent un rôle prépondérant aussi bien dans la Géométrie classique que dans l’Analyse moderne. L’étude des structures de module tire son origine de celle des équations linéaires, d’où son nom d’Algèbre linéaire; on en trouvera les résultats généraux au chapitre II.

De même, les anneaux à opérateurs qui interviennent le plus souvent sont ceux qu’on désigne sous le nom d’algèbres (ou systèmes hypercomplexes). Aux chapitres III et IV, on fait une étude détaillée de deux algèbres particulières : l’algèbre extérieure, qui, avec la théorie des déterminants qui en découle, est un auxiliaire précieux de l’Algèbre linéaire; et l’algèbre des polynomes, qui est à la base de la théorie des équations algébriques.

Au chapitre V est exposée la théorie générale des corps commutatifs, et de leur classification. L’origine de cette théorie est l’étude des équations algébriques à une inconnue; les questions qui lui ont donné naissance n’ont plus guère aujourd’hui qu’un intérêt historique, mais la théorie des corps commutatifs reste fondamentale en Algèbre, étant à la base de la théorie des nombres algébriques, d’une part, de la Géométrie algébrique, de l’autre.

Comme l’ensemble des entiers naturels est muni de deux lois de composition, l’addition et la multiplication, l’Arithmétique (ou Théorie des Nombres) classique, qui est l’étude des entiers naturels, est subordonnée à l’Algèbre. Toutefois, il intervient, en liaison avec la structure algébrique définie par ces deux lois, la structure définie par la relation d’ordre « $a$ divise $b$ »; et le propre de l’Arithmétique classique est précisément d’étudier les relations entre ces deux structures associées. Ce n’est pas le seul exemple où une structure d’ordre soit ainsi associée à une structure algébrique par une relation de « divisibilité »: cette relation joue un rôle tout aussi important dans les anneaux de polynomes. Aussi en fera-t-on une étude générale au chapitre VI; cette étude sera appliquée au chapitre VII à la détermination de la structure des modules sur certains anneaux particulièrement simples, et en particulier à la théorie des « diviseurs élémentaires ».

Les chapitres VIII et IX sont consacrés à des théories plus particulières, mais qui ont de multiples applications en Analyse: d’une part, la théorie des modules et anneaux semi-simples, étroitement liée à celle des représentations linéaires des groupes; d’autre part, la théorie des formes quadratiques et des formes hermitiennes, avec l’étude des groupes qui leur sont associés. Enfin, les géometries élémentaires (affine, projective, euclidienne, etc.) sont étudiées aux chap. II, VI et IX dans ce qu’elles ont de purement algébrique: il n’y a guère là qu’un langage nouveau pour exprimer des résultats d’Algèbre déjà obtenus par ailleurs, mais c’est un langage particulièrement bien adapté aux développements ultérieurs de la Géométrie algébrique et de la Géométrie différentielle, auxquelles ce chapitre sert d’introduction.