Introduction

Ce chapitre est consacré à l’étude de certaines classes d’anneaux et des modules sur ces anneaux. Plusieurs thèmes sous-tendent cette étude, comme les questions de classification et de décomposition ou la description des sous-objets et des ensembles de morphismes.

Pour l’essentiel, nous n’abordons ces questions que sous des hypothèses de finitude raisonnables et c’est la raison pour laquelle le chapitre s’ouvre sur les notions de module ou d’anneau noethérien et artinien.

En ce qui concerne l’étude des anneaux, nous présentons différents résultats permettant la compréhension des anneaux artiniens :

a) Le radical de Jacobson d’un anneau artinien est son radical nilpotent (§10) et le quotient correspondant est un anneau semi-simple (§8) ;

b) Un anneau semi-simple est isomorphe au produit d’une famille finie d’anneaux simples (§7) ;

c) Par le théorème de Wedderburn (VIII, p. 116, th. 1), un anneau simple est isomorphe à une algèbre de matrices sur un corps.

À équivalence de Morita près (§6), une algèbre de degré fini qui est un anneau simple est déterminée par sa classe dans un groupe abélien appelé groupe de Brauer. Nous donnons plusieurs descriptions de ce groupe (§15 et §16) ainsi que quelques exemples (§18 et §19).

Pour les modules, deux décompositions naturelles peuvent être considérées : la première, en termes de suite de composition (I, p. 39, définition 9), est fournie par le théorème de Jordan-Hölder (I, p. 41, th. 6) ; la seconde, correspondant aux sommes directes, est donnée dans le cas des modules de longueur finie par le théorème de Krull-Remak-Schmidt (VIII, p. 34, th. 2) qui est déduit ici d’un résultat d’Azumaya sur les modules semi-primordiaux (VIII, p. 29, th. 1). On est également amené à considérer les invariants associés aux modules qui se comportent additivement pour les décompositions ci-dessus ; les groupes de Grothendieck décrits au §11 sont solutions de problèmes universels pour ces invariants. Dans l’étude de la structure des modules sur un anneau, la notion d’isomorphisme d’anneaux est avantageusement remplacée par l’équivalence de Morita.

Pour les modules semi-simples, c’est-à-dire sommes directes de modules simples, la notion de description d’un module (VIII, p. 65, définition 5) permet de décrire les homomorphismes issus du module ainsi que ses sous-modules.

À titre d’illustration, nous considérons au §21 le cas de l’algèbre d’un groupe fini, dont les modules correspondent aux représentations linéaires du groupe.

Une note historique en fin de volume, reprise de l’édition précédente, retrace l’émergence d’une grande partie des notions développées ici.