Exercice 3, Annexe 0

Soient $E$ un ensemble, $f$ une application de $E\times E$ dans $E$ (« loi de composition », cf. A, I, § 1, no 1). Soit $S$ un ensemble de signes somme de $E$ et d’un ensemble réduit à l’élément $f$; on pose $n(f)=2$, $n(x)=0$ pour tout $x\in E$.

a) Soit $M$ l’ensemble des mots significatifs de $L_0(S)$; montrer qu’il existe une application et une seule $v$ de $M$ dans $E$ satisfaisant aux conditions suivantes: 1) $v(x)=x$ pour tout $x\in E$; 2) si $A$ et $B$ sont deux mots significatifs, $v(fAB)=f(v(A),v(B))$.

b) Pour tout mot $A=(s_i)_{0\leq i\leq n}$ de $L_0(S)$, soit $A^*$ le mot $(s_{i_k})$, où les $i_k$ sont les indices $i$ tels que $s_i\ne f$, rangés par ordre croissant. Deux mots $A,B$ de $L_0(S)$ sont dits semblables si $A^*=B^*$. Montrer que, si la loi de composition est associative (c’est-à-dire si $f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))$), on a $v(A)=v(B)$ pour deux mots significatifs semblables (théorème général d’associativité). (Un mot significatif $A=(s_i)_{0\leq i\leq 2n}$ est dit normal si $s_i=f$ pour $i=0,2,4,\ldots,2n-2$, $s_i\ne f$ pour les autres indices. Montrer que tout mot significatif $A$ est semblable à un mot normal et un seul $A'$, et prouver que $v(A)=v(A')$ par récurrence sur la longueur de $A$.)