Bài tập 3, Phụ lục 0

Cho E là một tập hợp và $f$ là một ánh xạ của $E \times E$ vào E ("luật hợp thành nội tại"). Cho S là một tập hợp các dấu hiệu là hợp rời nhau của E và tập hợp gồm phần tử duy nhất $f$. Đặt $n(f) = 1$, và $n(x) = 0$ với mọi $x \in E$.

(a) Cho M là tập hợp các từ có nghĩa của $L_0(S)$. Chứng minh rằng có một ánh xạ duy nhất $v$ của M vào E thỏa mãn các điều kiện sau: (1) $v(x) = x$ với mọi $x \in E$; (2) nếu $A$ và $B$ là hai từ có nghĩa, thì $v(fAB) = f(v(A), v(B))$.

(b) Với mỗi từ $A = (s_i)_{0 \leqslant i \leqslant n}$ trong $L_0(S)$, gọi $A^*$ là từ $(s_{i_k})$, trong đó các $i_k$ là các chỉ số $i$ sao cho $s_i \neq f$, được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Hai từ $A$, $B$ của $L_0(S)$ được gọi là tương tự nếu $A^* = B^*$. Chứng minh rằng nếu luật hợp thành $f$ là kết hợp, nghĩa là nếu

thì $v(A) = v(B)$ bất cứ khi nào $A$ và $B$ là các từ có nghĩa tương tự ("định lý tổng quát về tính kết hợp"). (Một từ có nghĩa

được gọi là chuẩn nếu $s_i = f$ với $i = 0, 2, 4, \ldots, 2n - 2$, và $s_i \neq f$ với các chỉ số còn lại. Chứng minh rằng mọi từ có nghĩa đều tương tự với một từ chuẩn duy nhất $A'$, và chứng minh rằng $v(A) = v(A')$ bằng quy nạp theo độ dài của $A$.)