Exercice 8, Annexe 0

Soient $R_1,R_2,\ldots,R_n$ des relations logiquement irréductibles d’une théorie $\mathscr T$ (exerc. 6). Affectons à chacune des $R_i$ l’un des signes 0, 1, 2. A toute relation d’une construction logique de base $R_1,R_2,\ldots,R_n$ on affecte alors l’un des signes 0, 1, 2 par la règle symbolique (exerc. 7) suivante:

a) Si $R$ est logiquement construite sur $R_1,R_2,\ldots,R_n$ le signe ainsi affecté à $R$ est indépendant de la construction logique de base $R_1,R_2,\ldots,R_n$ où figure $R$.

b) Supposons que les axiomes de $\mathscr T$ soient fournis par les seuls schémas S2, S3, S4. Soit $R$ un théorème de $\mathscr T$. Montrer que, quelle que soit la manière d’affecter l’un des signes 0, 1, 2 aux composantes logiques de $R$, le signe correspondant affecté à $R$ est 0. Par contre, si $S$ est logiquement irréductible et affectée du signe 2, le signe affecté à $(S$ ou $S) \Rightarrow S$. En déduire que $\mathscr T$ est non équivalente à la théorie ayant mêmes signes que $\mathscr T$, et dont les axiomes sont fournis par les schémas S1, S2, S3, S4.

c) Établir un résultat analogue pour des théories basées sur les seuls schémas S1, S3, S4, ou sur les seuls schémas S1, S2, S4. (On utilisera respectivement les règles suivantes:

d) Établir un résultat analogue pour une théorie basée sur les seuls schémas S1, S2, S3. (On utilisera quatre signes 0, 1, 2, 3, et la règle suivante: