Bài tập 8, Phụ lục 0

Tag 03H4, permanent. Cite it as [Bourbaki, Tag 03H4].

Lý thuyết tập hợp, I, 63

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Cho $R_1$ , $R_2$ , ..., $R_n$ là các quan hệ bất khả quy về mặt lôgic trong một lý thuyết $\mathscr{T}$ (Bài tập 6). Gán cho mỗi quan hệ $R_i$ một trong các dấu $0, 1, 2$ . Với mỗi quan hệ trong một phép dựng lôgic có cơ sở $R_1$ , $R_2$ , ..., $R_n$ , ta gán một trong các dấu 0, 1, 2 theo các quy tắc ký hiệu sau đây (Bài tập 7) :

\neg 0 = 1, \qquad \neg 1 = 0, \qquad \neg 2 = 2;

\vee 00 = \vee 01 = \vee 02 = \vee 10 = \vee 20 = \vee 22 = 0;

\vee 11 = 1, \qquad \vee 12 = \vee 21 = 2.

(a) Nếu $R$ được dựng một cách lôgic từ $R_1$ , $R_2$ , ..., $R_n$ , thì dấu mà $R$ mang là độc lập với phép dựng lôgic, có cơ sở là $R_1$ , $R_2$ , ..., $R_n$ , trong đó $R$ xuất hiện.

(b) Giả sử rằng các tiên đề duy nhất của $\mathscr{T}$ là những tiên đề được cho bởi các lược đồ S2, S3, S4. Gọi $R$ là một định lý trong $\mathscr{T}$ . Hãy chứng minh rằng, dù các dấu 0, 1, 2 được gán cho các thành phần lôgic của $R$ như thế nào, dấu tương ứng mà $R$ mang đều là 0. Mặt khác, nếu $S$ là bất khả quy về mặt lôgic và có dấu 2, thì dấu mà $(S$ hoặc $S) \Rightarrow S$ mang là 2. Hãy suy ra rằng $\mathscr{T}$ không tương đương với lý thuyết có cùng các dấu như $\mathscr{T}$ và có các tiên đề được cho bởi các lược đồ S1, S2, S3, S4.

(c) Hãy thiết lập một kết quả tương tự đối với các lý thuyết chỉ dựa trên các lược đồ S1, S3, S4, hoặc trên các lược đồ S1, S2, S4. (Lần lượt dùng các quy tắc sau :

\neg 0 = 1, \quad \neg 1 = 0, \quad \neg 2 = 2, \quad \vee 00 = \vee 01 = \vee 10 = \vee 02 = \vee 20 = 0,

\vee 11 = 1, \qquad \vee 12 = \vee 21 = 1, \qquad \vee 22 = 1;

\neg 0 = 1, \qquad \neg 1 = 2, \qquad \neg 2 = 0,

\vee 00 = \vee 01 = \vee 10 = \vee 02 = \vee 20 = \vee 21 = 0,

\vee 11 = \vee 12 = 1, \qquad \vee 22 = 2.)

(d) Hãy thiết lập một kết quả tương tự đối với một lý thuyết chỉ dựa trên các lược đồ S1, S2, S3. (Dùng bốn dấu 0, 1, 2, 3 và các quy tắc sau :

\neg 0 = 1, \qquad \neg 1 = 0, \qquad \neg 2 = 3, \qquad \neg 3 = 0,

\vee 00 = \vee 01 = \vee 10 = \vee 02 = \vee 20 = \vee 03 = \vee 30 = \vee 23 = \vee 32 = 0,

\vee 11 = 1, \qquad \vee 12 = \vee 21 = \vee 22 = 2, \qquad \vee 13 = \vee 31 = \vee 33 = 3.)

Solution

No solution has been written yet.

Cited by

Nothing.

Bài tập 8, Phụ lục 0

Cited by

Cites