Exercice 8, § 4

Soient $\mathfrak{R} = (X_i)_{i \in I}$ et $\mathfrak{S} = (Y_k)_{k \in K}$ deux recouvrements d’un ensemble $E$.

a) Montrer que si $\mathfrak{S}$ est une partition de $E$ et si $\mathfrak{R}$ est un recouvrement plus fin que $\mathfrak{S}$, alors, pour tout $\kappa \in K$, il existe $i \in I$ tel que $X_i \subset Y_{\kappa}$.

b) Donner un exemple de deux recouvrements $\mathfrak{R}, \mathfrak{S}$ tels que $\mathfrak{R}$ soit plus fin que $\mathfrak{S}$, mais où la propriété énoncée dans a) est en défaut.

c) Donner un exemple de deux partitions $\mathfrak{R}, \mathfrak{S}$ de $E$ telles que, pour tout $\kappa \in K$, il existe $i \in I$ tel que $X_i \subset Y_{\kappa}$, mais telles que $\mathfrak{R}$ ne soit pas plus fine que $\mathfrak{S}$.