Bài tập 8, § 4

Cho $\mathfrak{R} = (\mathrm{X}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}$ và $\mathfrak{S} = (\mathrm{Y}_\varkappa)_{\varkappa \in \mathrm{K}}$ là hai phủ của một tập hợp E.

(a) Chứng minh rằng nếu $\mathfrak{R}$ và $\mathfrak{S}$ là các phân hoạch của E và nếu $\mathfrak{R}$ mịn hơn $\mathfrak{S}$, thì với mọi $\varkappa \in \mathrm{K}$ tồn tại $\iota \in \mathrm{I}$ sao cho $\mathrm{X}_\iota \subset \mathrm{Y}_\varkappa$.

(b) Cho một ví dụ về hai phủ $\mathfrak{R}$, $\mathfrak{S}$ sao cho $\mathfrak{R}$ mịn hơn $\mathfrak{S}$ nhưng tính chất được phát biểu trong (a) không được thỏa mãn.

(c) Cho một ví dụ về hai phân hoạch $\mathfrak{R}$, $\mathfrak{S}$ của E sao cho với mọi $\varkappa \in \mathrm{K}$ tồn tại $\iota \in \mathrm{I}$ sao cho $\mathrm{X}_\iota \subset \mathrm{Y}_\varkappa$ nhưng sao cho $\mathfrak{R}$ không là một phân hoạch tinh hơn của $\mathfrak{S}$.