Exercice 5, § 5

Théorie des ensembles, II, p. 51

It is set in small type as supplementary.

Soit $(X_i)_{1 \leq i \leq n}$ une famille finie d’ensembles. Pour toute partie $H$ de l’ensemble d’indices $\{1, n\}$ , soit $P_H = \bigcup_{i \in H} X_i$ et $Q_H = \bigcap_{i \in H} X_i$ . Soit $\mathfrak{F}_k$ l’ensemble des parties de $\{1, n\}$ ayant $k$ éléments; montrer que l’on a:

\bigcup_{H \in \mathfrak{F}_k} Q_H \supset \bigcap_{H \in \mathfrak{F}_k} P_H \quad \text{si} \quad k \leq \frac{1}{2}(n + 1)

\bigcup_{H \in \mathfrak{F}_k} Q_H \subset \bigcap_{H \in \mathfrak{F}_k} P_H \quad \text{si} \quad k \geq \frac{1}{2}(n + 1) \ .

Solution

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