2° Si $f$ est une injection de $E$ dans $F$, l’extension canonique $\hat{f}$ est une injection de $\mathfrak{P}(E)$ dans $\mathfrak{P}(F)$.

1° Si $s$ est une section associée à $f$, $f \circ s$ est l’application identique de $F$, donc $\hat{f} \circ \hat{s}$ est l’application identique de $\mathfrak{P}(F)$, ce qui montre que $f$ est une surjection et $\hat{s}$ une section associée (II, p. 18).

2° La proposition est immédiate si $E = \varnothing$, puisqu’alors $\mathfrak{P}(E) = \{\varnothing\}$. Si $E \neq \varnothing$ et si $r$ est une rétraction associée à $f$, $r \circ f$ est l’application identique de $E$, donc $\hat{r} \circ \hat{f}$ est l’application identique de $\mathfrak{P}(E)$, ce qui montre que $\hat{f}$ est une injection et $\hat{r}$ une rétraction associée (II, p. 18).

2° Si u est une injection de E’ dans E, et v une surjection de F sur F’, l’application $f \mapsto v \circ f \circ u$ est surjective.

Bornons-nous au cas où les ensembles E’, F sont non vides, la proposition se vérifiant trivialement dans les autres cas.

1° Soient s une section associée à u, r une rétraction associée à v (II, p. 18, déf. 11). On a $r \circ (v \circ f \circ u) \circ s = \mathrm{Id}_F \circ f \circ \mathrm{Id}_E = f$, ce qui montre que $f \mapsto v \circ f \circ u$ est injective.

2° Soient $r'$ une rétraction associée à u, $s'$ une section associée à v. Pour toute application $f': E' \to F'$, on a $v \circ (s' \circ f' \circ r') \circ u = f'$, ce qui montre que $f \mapsto v \circ f \circ u$ est surjective.

Soient A, B, C trois ensembles, et f une application de $B \times C$ dans A. Pour tout $y \in C$, soit $f_y$ l’application partielle $x \mapsto f(x, y)$ de B dans A (II, p. 21); la fonction $y \mapsto f_y$ est une application de C dans $\mathscr{F}(B; A)$. Inversement, pour toute application g de C dans $\mathscr{F}(B; A)$, il existe une application et une seule f de $B \times C$ dans A telle que $g(y) = f_y$ pour tout $y \in C$, savoir l’application $(x, y) \mapsto (g(y))(x)$. Donc:

On définit de la même manière une bijection (dite canonique) de $\mathscr{F}(B \times C; A)$ sur $\mathscr{F}(B; \mathscr{F}(C; A))$. En raison de la correspondance biunivoque entre applications et graphes fonctionnels, les bijections précédentes fournissent des bijections (dites canoniques) de $A^{B \times C}$ sur $(A^B)^C$ (resp. $(A^C)^B$).

Soit $A = \bigcup_{\iota \in I} X_\iota = \bigcup_{\kappa \in K} X_{u(\kappa)}$ (II, p. 22, prop. 1). L’application $F \mapsto F \circ U$ ($F \in A^I$) est une application bijective de $A^I$ sur $A^K$ (II, p. 31, prop. 2). Il est évident que la condition « pour tout $\iota \in I$, $F(\iota) \in X_\iota$ » est équivalente à « pour tout $\kappa \in K$, $(F \circ U)(\kappa) \in X_{u(\kappa)}$ », ce qui démontre la proposition.

D’après les remarques faites ci-dessus, il revient au même de démontrer la proposition suivante:

En effet, pour tout $i \in I - J$, désignons par $T_i$ le terme $\tau_y(y \in X_i)$. Comme $X_i \neq \varnothing$ par hypothèse, on a $T_i \in X_i$ pour tout $i \in I - J$ (I, p. 32). Si $G$ est le graphe de $g$, le graphe $G \cup (\bigcup_{i \in I - J} \{(i, T_i)\})$ est le graphe d’une fonction $f$ répondant à la question, comme on le vérifie aussitôt.

Il suffit d’appliquer la prop. 5 à la partie $J = \{\alpha\}$ de $I$, et de remarquer que $\mathrm{pr}_\alpha$ est composée de l’application canonique de $X_\alpha^{(\alpha)}$ sur $X_\alpha$ et de l’application $\mathrm{pr}_{\{\alpha\}}$.

En effet, si, pour tout $i \in I$, on a $X_i \neq \varnothing$, on a aussi $\prod_{i \in I} X_i \neq \varnothing$ comme il résulte du cor.1; inversement, si $\prod_{i \in I} X_i \neq \varnothing$, la relation $\mathrm{pr}_\alpha(\prod_{i \in I} X_i) \subset X_\alpha$ montre que l’on a $X_\alpha \neq \varnothing$ pour tout $\alpha \in I$.

On voit donc que, si on a une famille $(X_i)_{i \in I}$ d’ensembles non vides, on peut introduire (à titre de constante auxiliaire) une fonction $f$ dont $I$ est l’ensemble de définition, et qui est telle que $f(i) \in X_i$ pour tout $i \in I$. On dira en pratique: « Prenons dans chaque ensemble $X_i$ un élément $x_i$ ». Intuitivement, on a donc « choisi » un élément $x_i$ dans chacun des $X_i$; l’introduction du signe logique $\tau$ et des critères qui en gouvernent l’emploi nous a dispensés d’avoir à formuler ici un « axiome de choix » pour légitimer cette opération (cf. Ens. R, p. 21).

Réciproquement, si $\prod_{i \in I} X_i \subset \prod_{i \in I} Y_i$ et si, pour tout $i \in I$, on a $X_i \neq \varnothing$, on a $X_i \subset Y_i$ pour tout $i \in I$.

La première assertion est évidente, et la seconde résulte du cor. 1 de la prop. 6, car on a alors, pour tout $\alpha \in I$,

D’après l’interprétation de $\mathrm{pr}_{J_\lambda} f$ comme graphe de la restriction d’une fonction de graphe $f$ (II, p. 33), dire que l’application $f \mapsto (\mathrm{pr}_{J_\lambda} f)_{\lambda \in L}$ est bijective signifie que, pour toute famille $(v_\lambda)_{\lambda \in L}$, où $v_\lambda$ est une application de $J_\lambda$ dans $\bigcup_{i \in I} X_i$, il existe une application et une seule $u$ de $I$ dans $\bigcup_{i \in I} X_i$ telle que, pour tout $\lambda \in L$, $v_\lambda$ soit la restriction de $u$ à $J_\lambda$; or, cela résulte de ce que $(J_\lambda)_{\lambda \in L}$ est une partition de $I$ (II, p. 29, prop. 8).

L’application définie dans la prop. 7 et sa réciproque sont dites canoniques.

(« distributivité » de la réunion par rapport à l’intersection et de l’intersection par rapport à la réunion).

Soit $x$ un élément de $\bigcup_{\lambda \in L} (\bigcap_{i \in J_\lambda} X_{\lambda, i})$. Soit $f$ un élément quelconque de $I$. Il existe un indice $\lambda$ tel que $x \in \bigcap_{i \in J_\lambda} X_{\lambda, i}$; on a par suite $x \in X_{\lambda, f(\lambda)}$, d’où $x \in \bigcup_{\lambda \in L} X_{\lambda, f(\lambda)}$. Ceci étant vrai pour tout $f \in I$, on a $x \in \bigcap_{f \in I} (\bigcup_{\lambda \in L} X_{\lambda, f(\lambda)})$. Soit maintenant $x$ un objet qui n’appartient pas à l’ensemble $\bigcup_{\lambda \in L} (\bigcap_{i \in J_\lambda} X_{\lambda, i})$. Il en résulte que, pour tout $\lambda \in L$, on a $x \notin \bigcap_{i \in J_\lambda} X_{\lambda, i}$, ce qui signifie que, pour tout $\lambda \in L$, l’ensemble $J'_\lambda$ des $i \in J_\lambda$ tels que $x \notin X_{\lambda, i}$ est non vide. D’après le cor. 2 de la prop. 5 (II, p. 34), il existe un graphe fonctionnel $f$ dont l’ensemble de définition est $L$ et qui est tel que, pour tout $\lambda \in L$, $f(\lambda) \in J'_\lambda$. On a donc $f \in I$ et, pour tout $\lambda \in L$, $x \notin X_{\lambda, f(\lambda)}$. On en déduit que $x \notin \bigcup_{\lambda \in L} X_{\lambda, f(\lambda)}$, et par suite $x \notin \bigcap_{f \in I} (\bigcup_{\lambda \in L} X_{\lambda, f(\lambda)})$.

La première formule est donc démontrée. La seconde s’en déduit, en appliquant la première formule à la famille $((\mathscr{C}_A X_{\lambda, i})_{i \in J_\lambda})_{\lambda \in L}$, où $A$ désigne la réunion $\bigcup_{\lambda \in L} (\bigcup_{i \in J_\lambda} X_{\lambda, i})$.

et

Soient $\alpha$ et $\beta$ deux objets distincts; il suffit d’appliquer les formules de la prop. 8 au cas où $L = \{\alpha, \beta\}$, $J_\alpha = I$, $J_\beta = K$, et à la famille $((Z_{\lambda, \mu})_{\mu \in J_\lambda})_{\lambda \in L}$ telle que $Z_{\alpha, i} = X_i$ pour tout $i \in I$ et $Z_{\beta, k} = Y_k$ pour tout $k \in K$; tenant compte de l’existence de la bijection canonique de $\prod_{\lambda \in L} J_\lambda$ sur $I \times K$ (II, p. 33) et de la prop. 1 de II, p. 30, on obtient les formules énoncées.

et (si $L \neq \varnothing$ et $J_\lambda \neq \varnothing$ pour tout $\lambda \in L$)

(« distributivité » du produit par rapport à la réunion et à l’intersection).

La première formule est immédiate si $L = \varnothing$ ou si $J_\lambda = \varnothing$ pour un indice λ ∈ L. Sinon, soit g un élément de $\prod_{\lambda \in L} (\bigcup_{i \in J_\lambda} X_{\lambda, i})$; pour tout λ ∈ L, il existe donc un i ∈ J_λ tel que $g(\lambda) \in X_{\lambda, i}$; autrement dit, l’ensemble H_λ des i ∈ J_λ tels que $g(\lambda) \in X_{\lambda, i}$ n’est pas vide. D’après II, p. 34, cor. 2, il existe donc un graphe fonctionnel f dont l’ensemble de définition est L et qui est tel que, pour tout λ ∈ L, $f(\lambda) \in H_\lambda$, ce qui signifie que $g(\lambda) \in X_{\lambda, f(\lambda)}$. On a donc $g \in \prod_{\lambda \in L} X_{\lambda, f(\lambda)}$, et par suite $g \in \bigcup_{f \in I} \left( \prod_{\lambda \in L} X_{\lambda, f(\lambda)} \right)$. Inversement, si $g \in \bigcup_{f \in I} \left( \prod_{\lambda \in L} X_{\lambda, f(\lambda)} \right)$, il existe un graphe fonctionnel $f \in I$ tel que, pour tout $\lambda \in L$, on ait $g(\lambda) \in X_{\lambda, f(\lambda)}$ et a fortiori $g(\lambda) \in \bigcup_{i \in J_\lambda} X_{\lambda, i}$, ce qui achève de démontrer la première formule. La seconde se démontre de façon analogue mais plus simple encore, comme nous laissons au lecteur le soin de le vérifier.

Si on pose $P_f = \prod_{\lambda \in L} X_{\lambda, f(\lambda)}$, il suffit, en vertu de la première des formules de la prop. 9, de démontrer que, si f et g sont des éléments distincts de I, $P_f \cap P_g = \varnothing$. Or, il existe alors un $\lambda \in L$ tel que $f(\lambda) \neq g(\lambda)$, d’où, en vertu de l’hypothèse, $X_{\lambda, f(\lambda)} \cap X_{\lambda, g(\lambda)} = \varnothing$. Il en résulte qu’il n’y a aucun graphe appartenant à $P_f \cap P_g$; en effet, pour un tel graphe G, on devrait avoir

ce qui est absurde.

Il suffit de raisonner comme dans la démonstration du corollaire de la prop. 8 (II, p. 36).

Les deux membres de l’égalité qu’il s’agit de démontrer sont des ensembles de graphes fonctionnels. Pour qu’un tel graphe f appartienne au premier membre, il faut et il suffit que, pour tout $k \in K$, $f \in \prod_{i \in I} X_{i, k}$, c’est-à-dire que, pour tout (ι, κ) ∈ I × K, f(ι) appartienne à X_{ι,κ}. Pour que f appartienne au second membre, il faut et il suffit que, pour tout ι ∈ I, on ait f(ι) ∈ ∩_{κ ∈ K} X_{ι,κ}, c'est-à-dire encore que, pour tout (ι, κ) ∈ I × K, f(ι) appartienne à X_{ι,κ}. La proposition est donc démontrée.

Il suffit d'appliquer la prop. 10 au cas où K (resp. I) est un ensemble à deux éléments distincts.

La proposition découle immédiatement de la déf. 2.

$1^\circ$ Bornons-nous au cas où $X_i \neq \varnothing$ pour tout $i \in I$, le résultat étant trivial dans le cas contraire. Supposons que, pour tout $i \in I$, $g_i$ soit une injection, et soit $r_i$ une rétraction associée à $g_i$ (II, p. 18, déf. 11), de sorte que $r_i \circ g_i$ est l’application identique de $X_i$. Soit $r$ l’extension aux produits de la famille $(r_i)_{i \in I}$; comme $r \circ g$ est l’extension aux produits de la famille des applications identiques $\mathrm{Id}_{X_i}$, $r \circ g$ est l’application identique de $\prod_{i \in I} X_i$, donc $g$ est une injection (II, p. 18, prop. 8).

$2^\circ$ Supposons que, pour tout $i \in I$, $g_i$ soit une surjection de $X_i$ sur $Y_i$, et soit $s_i$ une section associée à $g_i$ (II, p. 18, déf. 11), de sorte que $g_i \circ s_i$ est l’application identique de $Y_i$. Si $s$ est l’extension aux produits de la famille $(s_i)_{i \in I}$, $g \circ s$ est l’extension aux produits de la famille des applications identiques $\mathrm{Id}_{Y_i}$, donc est l’application identique de $\prod_{i \in I} Y_i$, ce qui prouve que $g$ est une surjection (II, p. 18, prop. 8).

Soit $(X_i)_{i \in I}$ une famille d’ensembles, et soit $E$ un ensemble. Pour toute application $f$ de $E$ dans $\prod_{i \in I} X_i$, $\mathrm{pr}_i \circ f$ est une application de $E$ dans $X_i$; si $\bar{f}$ est l’extension aux produits de cette famille d’applications, et $d$ l’application diagonale (II, p. 33) de $E$ dans $E^I$, on voit aussitôt que l’on a $f = \bar{f} \circ d$. Inversement, soit $(f_i)_{i \in I}$ une famille de fonctions telle que, pour tout $i \in I$, $f_i$ soit une application de $E$ dans $X_i$, et soit $\bar{f}$ l’extension aux produits de cette famille; on a alors, pour tout $i \in I$, $\mathrm{pr}_i \circ (\bar{f} \circ d) = f_i$. Par abus de langage, l’application $\bar{f} \circ d$ se note encore $(f_i)_{i \in I}$. On définit ainsi une application bijective (dite canonique, ainsi que son application réciproque) de l’ensemble $\prod_{i \in I} X_i^E$ sur l’ensemble $(\prod_{i \in I} X_i)^E$.