Exercice 10, § 6

a) Soit R$\{x, y\}$ une relation symétrique et réflexive dans un ensemble E. On dit que R est intransitive d'ordre 1 si, pour quatre éléments distincts x, y, z, t de E, les relations R$\{x, y\}$, R$\{x, z\}$, R$\{x, t\}$, R$\{y, z\}$ et R$\{y, t\}$ entraînent R$\{z, t\}$. On dit qu'une partie A de E est stable pour la relation R si, quels que soient x et y dans A, on a R$\{x, y\}$. Si a et b sont deux éléments distincts de E, tels que R$\{a, b\}$, montrer que l'ensemble C(a, b) des $x \in E$ tels que R$\{a, x\}$ et R$\{b, x\}$ est stable, et que pour tout couple d'éléments distincts x, y de C(a, b), on a C(x, y) = C(a, b). On appelle constituants de E pour la relation R les ensembles C(a, b) (pour tout couple (a, b) tel que R$\{a, b\}$), et les composantes connexes (exerc. 9) pour R réduites à un seul élément. Montrer que l'intersection de deux constituants distincts de E ne peut avoir plus d'un élément, et que, pour trois constituants A, B, C distincts deux à deux, l'un au moins des ensembles A $\cap$ B, B $\cap$ C, C $\cap$ A est vide ou les trois ensembles sont identiques. b) Réciproquement, soit $(X_\lambda)_{\lambda \in L}$ un recouvrement d'un ensemble E, formé de parties non vides de E, et ayant les propriétés suivantes: 1° pour deux indices distincts $\lambda, \mu$, $X_\lambda \cap X_\mu$ a au plus un élément; 2° pour trois indices distincts, $\lambda, \mu, \nu$, un au moins des trois ensembles $X_\lambda \cap X_\mu, X_\mu \cap X_\nu, X_\nu \cap X_\lambda$ est vide ou ces trois ensembles sont identiques. Soit R$\{x, y\}$ la relation « il existe $\lambda \in L$ tel que $x \in X_\lambda$ et $y \in X_\lambda$ »; montrer que R est une relation réflexive dans E, symétrique et intransitive d'ordre 1, et que les $X_\lambda$ sont les constituants de E pour R. c) \* On dit de même qu'une relation R$\{x, y\}$, symétrique et réflexive dans E, est intransitive d'ordre n − 3 si, pour toute famille $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ d'éléments distincts de E, les relations R$\{x_i, x_j\}$ pour tout couple $(i, j) \neq (n-1, n)$ entraînent R$\{x_{n-1}, x_n\}$. Généraliser les propriétés a) et b) aux relations intransitives d'ordre quelconque. Montrer qu'une relation intransitive d'ordre p est aussi intransitive d'ordre q pour tout $q > p$.*