Exercice 13, § 1

Soit E un ensemble ordonné; on dit qu'une application f de E dans lui-même est une fermeture si elle satisfait aux conditions suivantes: 1° f est croissante; 2° pour tout $x \in E$, on a $f(x) \geq x$; 3° pour tout $x \in E$, on a $f(f(x)) = f(x)$. Soit F l'ensemble des éléments de E invariants par f.

a) Montrer que pour tout $x \in E$, l’ensemble $F_x$ des éléments $y \in F$ tels que $x \leq y$ admet un plus petit élément égal à $f(x)$. Réciproquement, si $G$ est une partie de $E$ telle que, pour tout $x \in E$, l’ensemble des $y \in G$ tels que $x \leq y$ admette un plus petit élément $g(x)$, $g$ est une fermeture, et $G$ est l’ensemble des éléments invariants par $g$. b) On suppose que $E$ est un ensemble réticulé achevé; montrer que la borne inférieure dans $E$ d’une partie non vide quelconque de $F$ appartient à $F$. c) Montrer que si $E$ est réticulé, on a $f(\sup(x, y)) = \sup(f(x), f(y))$ pour tout couple d’éléments $x, y$ de $E$.