Bài tập 13, § 1

Cho E là một tập hợp có thứ tự. Một ánh xạ $f$ của E vào chính nó được gọi là một phép đóng nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: (1) $f$ là tăng; (2) với mỗi $x \in E$, $f(x) \geqslant x$; (3) với mỗi $x \in E$, $f(f(x)) = f(x)$. Gọi F là tập hợp các phần tử của E bất biến đối với $f$.

(a) Chứng minh rằng với mỗi $x \in E$, tập hợp $F_x$ gồm các phần tử $y \in F$ sao cho $x \leqslant y$ là không rỗng và có một phần tử nhỏ nhất, cụ thể là $f(x)$. Ngược lại, nếu G là một tập con của E sao cho, với mỗi $x \in E$, tập hợp tất cả các $y \in G$ sao cho $x \leqslant y$ có một phần tử nhỏ nhất $g(x)$, thì $g$ là một phép đóng và G là tập hợp các phần tử của E bất biến đối với $g$.

(b) Giả sử rằng E là một dàn đầy đủ. Chứng minh rằng cận dưới lớn nhất trong E của mọi tập con không rỗng của F thuộc về F.

(c) Chứng minh rằng nếu E là một dàn, thì $f(\sup (x, y)) = f(\sup (f(x), y))$ với mỗi cặp phần tử $x, y$ của E.