Exercice 14, § 1

Soient $A$ et $B$ deux ensembles, $R$ une partie quelconque de $A \times B$. Pour toute partie $X$ de $A$ (resp. toute partie $Y$ de $B$), on désigne par $\rho(X)$ (resp. $\sigma(Y)$) l’ensemble des $y \in B$ (resp. des $x \in A$) tels que $(x, y) \in R$ pour tout $x \in X$ (resp. $(x, y) \in R$ pour tout $y = Y$). Montrer que $\rho$ et $\sigma$ sont décroissantes, et que les applications $X \mapsto \sigma(\rho(X))$ et $Y \mapsto \rho(\sigma(Y))$ sont des fermetures (III, p. 71, exerc. 13) dans $\mathfrak{P}(A)$ et $\mathfrak{P}(B)$ respectivement (ordonnés par la relation d’inclusion).