Exercice 15, § 1

a) Étant donné un ensemble ordonné $E$, pour toute partie $X$ de $E$, on désigne par $\rho(X)$ l’ensemble des majorants de $X$ dans $E$, par $\sigma(X)$ l’ensemble des minorants de $X$ dans $E$. Montrer que, dans $\mathfrak{P}(E)$, l’ensemble $\tilde{E}$ des $X$ tels que $X = \sigma(\rho(X))$ est un ensemble réticulé achevé, et que l’application $i : x \mapsto \sigma(\{x\})$ est un isomorphisme (dit canonique) de $E$ sur un sous-ensemble ordonné $E'$ de $\tilde{E}$ tel que, si une famille $(x_i)$ d’éléments de $E$ a une borne supérieure (resp. inférieure) dans $E$, l’image de cette borne supérieure (resp. inférieure) est la borne supérieure (resp. inférieure) dans $\tilde{E}$ de la famille des images des $x_i$. On dit que $\tilde{E}$ est l’achèvement de l’ensemble ordonné $E$. b) Montrer que pour toute partie $X$ de $E$, $\sigma(\rho(X))$ est la borne supérieure dans $\tilde{E}$ de la partie $i(X)$ de $\tilde{E}$. Pour toute application croissante $f$ de $E$ dans un ensemble réticulé achevé $F$, il existe une application croissante et une seule $\bar{f}$ de $\tilde{E}$ dans $F$ telle que $f = \bar{f} \circ i$ et que $\bar{f}(\sup Z) = \sup (\bar{f}(Z))$ pour toute partie $Z$ de $\tilde{E}$. c) Si $E$ est totalement ordonné, montrer que $\tilde{E}$ est totalement ordonné.