Bài tập 15, § 1

(a) Cho E là một tập hợp có thứ tự, và với mỗi tập con X của E, ký hiệu $\rho(\mathrm{X})$ (tương ứng $\sigma(\mathrm{X})$) là tập hợp các cận trên (tương ứng cận dưới) của X trong E. Chứng minh rằng, trong $\mathfrak{P}(\mathrm{E})$, tập hợp $\tilde{\mathrm{E}}$ gồm các tập con X sao cho $\mathrm{X} = \sigma(\rho(\mathrm{X}))$ là một dàn đầy đủ, và rằng ánh xạ $i : x \to \sigma(\{x\})$ là một đẳng cấu (gọi là chính tắc) của E lên một tập con có thứ tự E' của $\tilde{\mathrm{E}}$ sao cho, nếu một họ $(x_\iota)$ các phần tử của E có một cận trên nhỏ nhất (tương ứng cận dưới lớn nhất) trong E, thì ảnh của cận trên nhỏ nhất (tương ứng cận dưới lớn nhất) này là cận trên nhỏ nhất (tương ứng cận dưới lớn nhất) trong $\tilde{\mathrm{E}}$ của họ các ảnh của các $x_\iota$. $\tilde{\mathrm{E}}$ được gọi là sự hoàn thành của tập hợp có thứ tự E.

(b) Chứng minh rằng, với mọi tập con X của E, $\sigma(\rho(\mathrm{X}))$ là cận trên nhỏ nhất trong $\tilde{\mathrm{E}}$ của tập con $i(\mathrm{X})$ của $\tilde{\mathrm{E}}$. Nếu $f$ là một ánh xạ tăng bất kỳ từ E vào một dàn đầy đủ F, thì tồn tại một ánh xạ tăng duy nhất $\bar{f}$ từ $\tilde{\mathrm{E}}$ vào F sao cho $f = \bar{f} \circ i$ và $\bar{f}(\sup \mathrm{Z}) = \sup (\bar{f}(\mathrm{Z}))$ với mọi tập con Z của $\tilde{\mathrm{E}}$.

(c) Nếu E được sắp thứ tự toàn phần, chứng minh rằng $\tilde{\mathrm{E}}$ được sắp thứ tự toàn phần.