Exercice 16, § 1

On dit qu’un ensemble réticulé $E$ est distributif s’il satisfait aux deux conditions suivantes: (D')

(D'') quels que soient $x, y, z$ dans $E$. Un ensemble totalement ordonné est réticulé distributif. a) Montrer que chacune des conditions (D'), (D'') entraîne, à elle seule, la condition (D) quels que soient $x, y, z$ dans $E$. b) Montrer que la condition (D) entraîne la condition: (M) En déduire que (D) entraîne chacune des conditions (D'), (D''), et par suite que les trois axiomes (D), (D') et (D'') sont équivalents (pour voir par exemple que (D) entraîne (D'), prendre la borne supérieure de $x$ et de chacun des deux membres de (D), et utiliser (M)). c) Montrer que chacune des conditions suivantes: (T') (T'') quels que soient $x, y, z$ dans $E$ — est nécessaire et suffisante pour que $E$ soit distributif. (Pour montrer que (T') entraîne (D''), considérer l’élément $\inf(z, \sup(x, \inf(y, z)))$) .