Bài tập 16, § 1

Một dàn E được gọi là phân phối nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau:

(D') $\qquad \sup (x, \inf (y, z)) = \inf (\sup (x, y), \sup (x, z)),$ (D'') $\qquad \inf (x, \sup (y, z)) = \sup (\inf (x, y) \inf (x, z))$

với mọi $x, y, z$ trong E. Một tập hợp được sắp thứ tự toàn phần là một dàn phân phối.

(a) Chứng minh rằng mỗi điều kiện (D), (D') một cách riêng rẽ đều suy ra điều kiện

(D) $\quad \sup (\inf (x, y), \ \inf (y, z), \ \inf (z, x))$

với mọi $x, y, z$ trong E.

(b) Chứng minh rằng điều kiện (D) suy ra điều kiện

(M) $\qquad$ Nếu $x \geqslant z$, thì $\sup (z, \inf (x, y)) = \inf (x, \sup (y, z)).$

Suy ra rằng (D) kéo theo mỗi điều kiện (D′) và (D″), và do đó ba tiên đề (D), (D′), và (D″) là tương đương (để chỉ ra, chẳng hạn, rằng (D) suy ra (D′), lấy cận trên nhỏ nhất của $x$ và mỗi vế của (D), và sử dụng (M)).

(c) Chứng minh rằng mỗi một trong hai điều kiện

(T′) $\qquad\qquad \inf\,(z, \sup\,(x, y)) \leqslant \sup\,(x, \inf\,(y, z)),$ (T″) $\inf\,(\sup\,(x, y), \sup\,(z, \inf\,(x, y))) = \sup\,(\inf\,(x, y), \inf\,(y, z), \inf\,(z, x))$

với mọi $x$, $y$, $z$ trong E là cần và đủ để E là phân phối. (Để chỉ ra rằng (T′) suy ra (D″), xét phần tử