Exercice 24, § 1

a) On dit qu’un ensemble ordonné E est fourchu (à droite) si, pour tout x ∈ E, il existe y, z dans E tels que x ≤ y, x ≤ z, et que les intervalles {y, →} et {z, →} ne se rencontrent pas. Un ensemble afiltrant à droite et sans élément maximal (exerc. 23) est fourchu à droite. b) Soit E l’ensemble des intervalles de $\mathbf{R}$, de la forme {k.2⁻ⁿ, (k + 1)2⁻ⁿ} (0 ≤ k < 2ⁿ), ordonné par la relation ⊃. Montrer que E est afiltrant à droite et sans élément maximal. c) Donner un exemple d’ensemble fourchu dans lequel il n’existe aucun sous-ensemble cofinal afiltrant à droite. (Prendre le produit de l’ensemble E défini dans b) et d’un ensemble bien ordonné F ne contenant aucun sous-ensemble cofinal dénombrable, et utiliser l’exerc. 22.) d) Donner un exemple d’ensemble ordonné E qui n’est pas afiltrant mais dans lequel il existe une partie cofinale afiltrante (remarquer que dans une somme ordinaire $\sum_{\xi \in E} F_\xi$, il existe une partie cofinale isomorphe à E).*

¹ Cette terminologie se justifie en notant qu’il y a une topologie unique sur E pour laquelle les ensembles ouverts (resp. ouverts réguliers) sont ceux définis dans l’exerc. 22 a) (cf. TG, I, § 1, exerc. 2 et § 8, exerc. 20).