Bài tập 24, § 1

(a) Một tập hợp có thứ tự E được gọi là phân nhánh (về phía phải) nếu với mỗi $x \in E$ tồn tại $y$, $z$ thuộc E sao cho $x \leqslant y$, $x \leqslant z$ và các khoảng $[y, \rightarrow[$ và $[z, \rightarrow[$ không giao nhau. Một tập hợp đối hướng không có phần tử cực đại (Bài tập 23) là phân nhánh.

(b) Cho E là tập hợp các khoảng trong $\mathbf{R}$ có dạng

có thứ tự theo quan hệ $\supset$. Hãy chứng minh rằng E là đối hướng và không có phần tử cực đại.

(c) Hãy cho một ví dụ về một tập hợp phân nhánh trong đó không tồn tại tập con đối hướng đồng lõa. (Lấy tích của tập hợp E được xác định trong (b) với một tập hợp được sắp tốt không chứa tập con đồng lõa đếm được, và sử dụng Bài tập 22.)

(d) Hãy cho một ví dụ về một tập hợp có thứ tự E không đối hướng, nhưng có một tập con đối hướng đồng lõa (lưu ý rằng một tổng thứ tự $\sum_{\xi \in E} F_\xi$ chứa một tập con đồng lõa đẳng cấu với E). \*