Exercice 6, § 1

Soient E et F deux ensembles ordonnés, et soit $\mathscr{A}(E, F)$ le sous-ensemble de l’ensemble ordonné produit $F^E$, formé des applications croissantes de E dans F. a) Montrer que si E, F, G sont trois ensembles ordonnés, l’ensemble ordonné $\mathscr{A}(E, F \times G)$ est isomorphe à l’ensemble ordonné produit $\mathscr{A}(E, F) \times \mathscr{A}(E, G)$. b) Montrer que si E, F, G sont trois ensembles ordonnés, l’ensemble ordonné $\mathscr{A}(E \times F, G)$ est isomorphe à l’ensemble ordonné $\mathscr{A}(E, \mathscr{A}(F, G))$. c) On suppose que E n’est pas vide. Pour que $\mathscr{A}(E, F)$ soit réticulé, il faut et il suffit que F soit réticulé.

d) On suppose que E et F sont non vides. Pour que $\mathscr{A}(E, F)$ soit totalement ordonné, il faut et il suffit que l'une des conditions suivantes soit vérifiée: α) F est réduit à un seul élément; β) E est réduit à un seul élément et F est totalement ordonné; γ) E est totalement ordonné et F est un ensemble totalement ordonné ayant deux éléments.