Bài tập 6, § 1

Cho E và F là hai tập hợp có thứ tự, và gọi $\mathscr{A}(\mathrm{E}, \mathrm{F})$ là tập con của tập hợp có thứ tự tích $\mathrm{F}^{\mathrm{E}}$ gồm các ánh xạ tăng từ E vào F.

(a) Chứng minh rằng nếu E, F, G là ba tập hợp có thứ tự, thì tập hợp có thứ tự $\mathscr{A}(\mathrm{E}, \mathrm{F} \times \mathrm{G})$ đẳng cấu với tập hợp có thứ tự tích $\mathscr{A}(\mathrm{E}, \mathrm{F}) \times \mathscr{A}(\mathrm{E}, \mathrm{G})$.

(b) Chứng minh rằng nếu E, F, G là ba tập hợp có thứ tự, thì tập hợp có thứ tự $\mathscr{A}(\mathrm{E} \times \mathrm{F}, \mathrm{G})$ đẳng cấu với tập hợp có thứ tự $\mathscr{A}(\mathrm{E}, \mathscr{A}(\mathrm{F}, \mathrm{G}))$.

(c) Nếu $\mathrm{E} \neq \emptyset$, thì $\mathscr{A}(\mathrm{E}, \mathrm{F})$ là một dàn khi và chỉ khi F là một dàn.

(d) Giả sử rằng E và F đều không rỗng. Khi đó $\mathscr{A}(\mathrm{E}, \mathrm{F})$ được sắp thứ tự toàn phần khi và chỉ khi một trong các điều kiện sau được thỏa mãn :

($\alpha$) F gồm một phần tử duy nhất;

($\beta$) E gồm một phần tử duy nhất và F được sắp thứ tự toàn phần;

($\gamma$) E và F đều được sắp thứ tự toàn phần và F có hai phần tử.