Exercice 12, § 2

Soit I un ensemble d’indices totalement ordonné, et soit $(E_t)_{t \in I}$ une famille d’ensembles ordonnés ayant I pour ensemble d’indices. On définit sur $E = \prod_{t \in I} E_t$ la relation suivante $R\{x, y\}$: « l’ensemble des $t \in I$ tels que $pr_t x \neq pr_t y$ est bien ordonné et, pour le plus petit élément de cet ensemble, on a $pr_t x < pr_t y$ ». Montrer que $R\{x, y\}$ est une relation d’ordre entre x et y dans E. Si les $E_t$ sont totalement ordonnés, montrer que les composantes connexes de E pour la relation « x et y sont comparables » (II, p. 52, exerc. 10) sont des ensembles totalement ordonnés. On suppose que chaque $E_t$ a au moins deux éléments; pour que E soit totalement ordonné, il faut et il suffit que I soit bien ordonné et que les $E_t$ soient totalement ordonnés (utiliser l’exerc. 3 de III, p. 75); E est alors le produit lexicographique des $E_t$.