Bài tập 12, § 2

Cho I là một tập sắp thứ tự toàn phần và $(\mathbf{E}_\iota)_{\iota \in \mathbf{I}}$ là một họ các tập hợp có thứ tự được đánh chỉ số bởi I. Gọi $\mathbf{R}\{x, y\}$ là quan hệ sau trên $\mathbf{E} = \prod_{\iota \in \mathbf{I}} \mathbf{E}_\iota$ : "tập hợp các chỉ số $\iota \in \mathbf{I}$ sao cho $\mathrm{pr}_\iota x \neq \mathrm{pr}_\iota y$ là được sắp tốt, và nếu $\varkappa$ là phần tử bé nhất của tập con này của I, thì ta có $\mathrm{pr}_\varkappa x < \mathrm{pr}_\varkappa y$". Chứng minh rằng $\mathbf{R}\{x, y\}$ là một quan hệ thứ tự giữa $x$ và $y$ trên E. Nếu các $\mathbf{E}_\iota$ được sắp thứ tự toàn phần, hãy chứng minh rằng các thành phần liên thông của E đối với quan hệ "$x$ và $y$ so sánh được" (Chương II, § 6, Bài tập 10) là các tập sắp thứ tự toàn phần. Giả sử rằng mỗi $\mathbf{E}_\iota$ có ít nhất hai phần tử. Khi đó E được sắp thứ tự toàn phần nếu và chỉ nếu I được sắp tốt và mỗi $\mathbf{E}_\iota$ được sắp thứ tự toàn phần (dùng Bài tập 3); và khi đó E là tích từ điển của các $\mathbf{E}_\iota$.