Exercice 13, § 2

a) Soit Is($\Gamma, \Gamma'$) la relation « $\Gamma$ est un ordre (sur E) et $\Gamma'$ est un ordre (sur $E'$), et il existe un isomorphisme de E, ordonné par $\Gamma$, sur $E'$, ordonné par $\Gamma'$ ». Montrer que la relation Is($\Gamma, \Gamma'$) est une relation d’équivalence dans tout ensemble dont les éléments sont des ordres. Le terme $\tau_\Delta(\mathrm{Is}(\Gamma, \Delta))$ est un ordre appelé type d’ordre de $\Gamma$, et noté Ord($\Gamma$), ou Ord(E) par abus de notation. Pour que deux ensembles ordonnés soient isomorphes, il faut et il suffit que leurs types d’ordre soient égaux. b) Soit $R\{\lambda, \mu\}$ la relation: « $\lambda$ est un type d’ordre et $\mu$ est un type d’ordre, et il existe un isomorphisme de l’ensemble ordonné par $\lambda$ sur une partie de l’ensemble ordonné par $\mu$ ». Montrer que $R\{\lambda, \mu\}$ est une relation de préordre entre $\lambda$ et $\mu$; on la note $\lambda \prec \mu$. c) Soient I un ensemble ordonné, $(\lambda_t)_{t \in I}$ un ensemble de types d’ordre ayant I comme ensemble d’indices. On appelle somme ordinaire des types d’ordre $\lambda_t$ ($t \in I$) et on note $\sum_{t \in I} \lambda_t$ le type d’ordre de la somme ordinaire (III, p. 69, exerc. 3) de la famille des ensembles ordonnés par $\lambda_t$. Si $(E_t)_{t \in I}$ est une famille d’ensembles ordonnés, le type d’ordre de $\sum_{t \in I} E_t$ est $\sum_{t \in I} \mathrm{Ord}(E_t)$.

Si I est somme ordinaire d’une famille d’ensembles $(J_k)_{k \in K}$, montrer que l’on a

d) Soit I un ensemble d’indices bien ordonné : on appelle produit ordinal d’une famille $(\lambda_t)_{t \in I}$ de types d’ordre, et on note $P \lambda_t$ le type d’ordre du produit lexicographique de la famille des ensembles ordonnés par $\lambda_t$. Si $(E_t)_{t \in I}$ est un famille d’ensembles ordonnés, le type d’ordre du produit lexicographique de cette famille est $P \mathrm{Ord}(E_t)$. Si I est somme ordinaire d’une famille d’ensembles bien ordonnés $(J_k)_{k \in K}$, où K est bien ordonné, montrer qu’on a

e) On note $\lambda + \mu$ (resp. $\mu \lambda$) la somme ordinaire (resp. le produit ordinal) de la famille $(\xi_t)_{t \in J}$, où $J = \{\alpha, \beta\}$ est un ensemble à deux éléments distincts, ordonné par la relation de graphe $\{(\alpha, \alpha), (\alpha, \beta), (\beta, \beta)\}$, et où $\xi_\alpha = \lambda, \xi_\beta = \mu$. Montrer que, si I est un ensemble bien ordonné de type d’ordre $\lambda$, et si $(\mu_t)_{t \in I}$ est une famille de types d’ordre telle que $\mu_t = \mu$ pour tout $t \in I$, on a $\sum_{t \in I} \mu_t = \mu \lambda$. On a $(\lambda + \mu) + \nu = \lambda + (\mu + \nu)$, $(\lambda \mu) \nu = \lambda (\mu \nu)$ et $\lambda (\mu + \nu) = \lambda \mu + \lambda \nu$ (mais en général $\lambda + \mu \neq \mu + \lambda$, $\lambda \mu \neq \mu \lambda$, $(\lambda + \mu) \nu \neq \lambda \nu + \mu \nu$).

f) Soient $(\lambda_t)_{t \in I}$ et $(\mu_t)_{t \in I}$ deux familles de types d’ordre ayant même ensemble d’indices ordonné I. Montrer que, si on a $\lambda_t < \mu_t$ pour tout $t \in I$, on a $\sum_{t \in I} \lambda_t < \sum_{t \in I} \mu_t$ et (si I est bien ordonné) $P \lambda_t < P \mu_t$. Si J est une partie de I, montrer que $\sum_{t \in J} \lambda_t < \sum_{t \in I} \lambda_t$ et (si I est bien ordonné et les $\lambda_t$ non vides) $P \lambda_t < P \lambda_t$.

g) On désigne par $\lambda^*$ le type d’ordre de l’ensemble ordonné par l’ordre opposé à l’ordre $\lambda$; on a $(\lambda^*)^* = \lambda$, $\left( \sum_{t \in I} \lambda_t \right)^* = \sum_{t \in I^*} \lambda_t^*$, où $I^*$ désigne l’ensemble I muni de l’ordre opposé à l’ordre donné initialement sur I.