Bài tập 13, § 2

(a) Gọi $\mathrm{Is}(\Gamma, \Gamma')$ là quan hệ "$\Gamma$ là một thứ tự (trên E), và $\Gamma'$ là một thứ tự (trên E'), và tồn tại một đẳng cấu của E, được sắp thứ tự bởi $\Gamma$, lên E', được sắp thứ tự bởi $\Gamma'$". Hãy chỉ ra rằng $\mathrm{Is}(\Gamma, \Gamma')$ là một quan hệ tương đương trên mọi tập hợp mà các phần tử là những thứ tự. Số hạng $\tau_\Delta(\mathrm{Is}(\Gamma, \Delta))$ là một thứ tự được gọi là kiểu thứ tự của $\Gamma$ và được ký hiệu là Ord $(\Gamma)$, hoặc Ord(E) theo lạm dụng ký hiệu. Hai tập hợp có thứ tự là đẳng cấu nếu và chỉ nếu các kiểu thứ tự của chúng bằng nhau.

(b) Gọi $R\{\lambda, \mu\}$ là quan hệ : "$\lambda$ là một kiểu thứ tự, và $\mu$ là một kiểu thứ tự, và tồn tại một đẳng cấu của tập hợp có thứ tự bởi $\lambda$ lên một tập con của tập hợp có thứ tự bởi $\mu$". Chứng minh rằng $R\{\lambda, \mu\}$ là một quan hệ tiền thứ tự giữa $\lambda$ và $\mu$. Nó sẽ được ký hiệu bởi $\lambda \prec \mu$.

(c) Cho I là một tập hợp có thứ tự và cho $(\lambda_\iota)_{\iota \in I}$ là một họ các kiểu thứ tự được đánh chỉ số bởi I. Kiểu thứ tự của tổng thứ tự (§ 1, Bài tập 3) của họ các tập hợp được sắp thứ tự bởi các $\lambda_\iota$ ($\iota \in I$) được gọi là tổng thứ tự của các kiểu thứ tự $\lambda_\iota$ ($\iota \in I$) và được ký hiệu bởi $\sum\limits_{\iota \in I} \lambda_\iota$. Nếu $(E_\iota)_{\iota \in I}$ là một họ các tập hợp có thứ tự, thì kiểu thứ tự của $\sum\limits_{\iota \in I} E_\iota$ là $\sum\limits_{\iota \in I} \mathrm{Ord}(E_\iota)$. Nếu I là tổng thứ tự của một họ $(J_\varkappa)_{\varkappa \in K}$, hãy chứng minh rằng

(d) Cho I là một tập được sắp thứ tự tốt và $(\lambda_\iota)_{\iota \in I}$ là một họ các kiểu thứ tự được đánh chỉ số bởi I. Kiểu thứ tự của tích từ điển của họ các tập hợp được sắp thứ tự bởi các $\lambda_\iota$ ($\iota \in I$) được gọi là tích thứ tự của họ $(\lambda_\iota)_{\iota \in I}$ và được ký hiệu bởi $\mathop{\mathsf{P}}\limits_{\iota \in I} \lambda_\iota$. Nếu $(E_\iota)_{\iota \in I}$ là một họ các tập hợp có thứ tự, thì kiểu thứ tự của tích từ điển của họ $(E_\iota)_{\iota \in I}$ là $\mathop{\mathsf{P}}\limits_{\iota \in I} \mathrm{Ord}(E_\iota)$. Nếu I là tổng thứ tự của một họ các tập được sắp thứ tự tốt $(J_\varkappa)_{\varkappa \in K}$, được đánh chỉ số bởi một tập được sắp thứ tự tốt K, hãy chứng minh rằng

(e) Ta ký hiệu bởi $\lambda + \mu$ (tương ứng $\mu\lambda$) tổng thứ tự (tương ứng tích thứ tự) của họ $(\xi_\iota)_{\iota \in J}$, trong đó $J = \{\alpha, \beta\}$ là một tập hợp gồm hai phần tử phân biệt, được sắp thứ tự bởi quan hệ có đồ thị là $\{(\alpha, \alpha), (\alpha, \beta), (\beta, \beta)\}$, và trong đó $\xi_\alpha = \lambda$, $\xi_\beta = \mu$. Hãy chứng minh rằng nếu I là một tập hợp được sắp thứ tự tốt có kiểu thứ tự $\lambda$, và nếu $(\mu_\iota)_{\iota \in I}$ là một họ các kiểu thứ tự sao cho $\mu_\iota = \mu$ với mọi $\iota \in I$, thì $\sum\limits_{\iota \in I} \mu_\iota = \mu\lambda$. Ta có $(\lambda + \mu) + \nu = \lambda + (\mu + \nu)$, $(\lambda\mu)\nu = \lambda(\mu\nu)$, và $\lambda(\mu + \nu) = \lambda\mu + \lambda\nu$ (nhưng nói chung $\lambda + \mu \neq \mu + \lambda$, $\lambda\mu \neq \mu\lambda$, $(\lambda + \mu)\nu \neq \lambda\nu + \mu\nu$).

(f) Cho $(\lambda_\iota)_{\iota \in I}$ và $(\mu_\iota)_{\iota \in I}$ là hai họ kiểu thứ tự được đánh chỉ số bởi cùng một tập hợp có thứ tự I. Hãy chứng minh rằng, nếu $\lambda_\iota \prec \mu_\iota$ với mỗi $\iota \in I$, thì $\sum\limits_{\iota \in I} \lambda_\iota \prec \sum\limits_{\iota \in I} \mu_\iota$ và (nếu I được sắp tốt) $\mathop{\mathsf{P}}\limits_{\iota \in I} \lambda_\iota \prec \mathop{\mathsf{P}}\limits_{\iota \in I} \mu_\iota$. Nếu J là một tập con của I, hãy chứng minh rằng $\sum\limits_{\iota \in J} \lambda_\iota \prec \sum\limits_{\iota \in I} \lambda_\iota$ và (nếu I được sắp tốt và các $\lambda_\iota$ là không rỗng) $\mathop{\mathsf{P}}\limits_{\iota \in J} \lambda_\iota \prec \mathop{\mathsf{P}}\limits_{\iota \in I} \lambda_\iota$.

(g) Ký hiệu $\lambda^*$ là kiểu thứ tự của tập hợp được sắp theo thứ tự đối của thứ tự $\lambda$. Khi đó ta có

trong đó $I^*$ ký hiệu tập hợp $I$ được trang bị thứ tự đối của thứ tự đã cho trên $I$.