Exercice 19, § 2

Soient $\alpha, \beta$ deux ordinaux, et soient E, F deux ensembles bien ordonnés tels que $\mathrm{Ord}(E) = \alpha, \mathrm{Ord}(F) = \beta$. On considère, dans l’ensemble $E^F$ des applications de F dans E, le sous-ensemble G des applications g telles que $g(y)$ soit égal au plus petit élément de E sauf pour un nombre fini de valeurs de y dans F. Si $F^*$ est l’ensemble ordonné obtenu en munissant F de l’ordre opposé, montrer que G est une composante connexe pour la relation « x et y sont comparables » (II, p. 52, exerc. 10) dans le produit $E^{F^*}$ muni de l’ordre défini dans l’exerc. 12 (III, p. 76), et que G est bien ordonné; en outre, prouver que l’on a $\mathrm{Ord}(G) = \alpha^\beta$ (utiliser la propriété d’unicité de l’exerc. 17 b) de III, p. 78)).*