Bài tập 19, § 2

Cho $\alpha$ và $\beta$ là hai số thứ tự, và cho E, F là hai tập hợp được sắp tốt sao cho $\operatorname{Ord}(E)=\alpha$ và $\operatorname{Ord}(F)=\beta$. Trong tập hợp $E^F$ các ánh xạ của F vào E, xét tập con G gồm các ánh xạ $g$ sao cho $g(y)$ bằng phần tử nhỏ nhất của E với mọi phần tử $y\in F$ trừ một số hữu hạn phần tử. Nếu $F^*$ là tập hợp có thứ tự thu được bằng cách trang bị cho F thứ tự đối, hãy chỉ ra rằng G là một thành phần liên thông đối với quan hệ “$x$ và $y$ là so sánh được” (Chương II, § 6, Bài tập 10) trong tích $E^{F^*}$ được trang bị thứ tự xác định trong Bài tập 12, và chỉ ra rằng G được sắp tốt. Hơn nữa, chứng minh rằng $\operatorname{Ord}(G)=\alpha^\beta$ (sử dụng tính duy nhất của Bài tập 17 (b)).

☡