Exercice 20, § 2

On dit qu’un ensemble X est transitif si la relation $x \in X$ implique $x \subset X$. a) Si Y est un ensemble transitif, il en est de même de $Y \cup \{Y\}$. Si $(Y_t)_{t \in I}$ est une famille d’ensembles transitifs, les ensembles $\bigcup_{t \in I} Y_t$ et $\bigcap_{t \in I} Y_t$ sont transitifs. b) On dit qu’un ensemble X est un pseudo-ordinal si tout ensemble transitif Y tel que $Y \subset X$ et $Y \neq X$ est un élément de X. On dit qu’un ensemble S est décant si la relation $x \in S$ entraîne $x \notin x$. Montrer que tout pseudo-ordinal est transitif et décant (considérer la réunion des sous-ensembles de X transitifs et décents, et utiliser a)). Si X est un pseudo-ordinal, il en est de même de $X \cup \{X\}$. c) Si X et Y sont deux pseudo-ordinaux distincts, montrer que l’un d’eux est élément de l’autre (remarquer que $X \cap Y \notin X \cap Y$ et que $X \cap Y$ est transitif). d) Soit X un ensemble transitif, et supposons que tout $x \in X$ soit un pseudo-ordinal; alors X est un pseudo-ordinal (remarquer que si $Y \neq X$ est transitif et $x \in X - Y$, la relation $y \in Y$ entraîne $y \in x$, en utilisant c)). e) Montrer que $\varnothing$ est un pseudo-ordinal et que tout élément d’un pseudo-ordinal X est un pseudo-ordinal. (Considérer la réunion des sous-ensembles transitifs de X dont les éléments sont des pseudo-ordinaux et utiliser b) et d)). f) Pour toute famille $(X_t)_{t \in I}$ de pseudo-ordinaux, l’intersection $\bigcap_{t \in I} X_t$ est le plus petit élément de cette famille (pour la relation d’inclusion). (Utiliser d.) En déduire que si E est un pseudo-ordinal, la relation $x \subset y$ entre éléments de E est une relation de bon ordre. g) Montrer que pour tout ordinal $\alpha$, il existe un pseudo-ordinal $E_\alpha$ et un seul tel que $\mathrm{Ord}(E_\alpha) = \alpha$ (utiliser f) et le critère C60). En particulier, les pseudo-ordinaux ayant pour types d’ordre 0, 1, 2 = 1 + 1 et 3 = 2 + 1 sont respectivement