Bài tập 20, § 2

Một tập hợp X được gọi là bắc cầu nếu quan hệ $x\in X$ kéo theo $x\subset X$.

(a) Nếu Y là một tập hợp bắc cầu, thì $Y\cup\{Y\}$ cũng vậy. Nếu $(Y_\iota)_{\iota\in I}$ là một họ các tập hợp bắc cầu, thì $\bigcup_{\iota\in I}Y_\iota$ và $\bigcap_{\iota\in I}Y_\iota$ là bắc cầu.

(b) Một tập hợp X là một giả-thứ tự nếu mọi tập hợp bắc cầu Y sao cho $Y\subset X$ và $Y\neq X$ đều là một phần tử của X. Một tập hợp S được gọi là đúng đắn nếu quan hệ $x\in S$ kéo theo $x\notin x$. Chứng minh rằng mọi giả-thứ tự đều bắc cầu và đúng đắn (xét hợp của các tập con bắc cầu đúng đắn của X, và dùng (a)). Nếu X là một giả-thứ tự, thì $X\cup\{X\}$ cũng vậy.

(c) Cho X là một tập hợp bắc cầu, và giả sử rằng mỗi $x\in X$ là một giả-thứ tự. Khi đó X là một giả-thứ tự (chú ý rằng, với mỗi $x\in X$, $x\cup\{x\}$ là một giả-thứ tự được chứa trong X).

(d) Chứng minh rằng $\varnothing$ là một giả-thứ tự và mọi phần tử của một giả-thứ tự X đều là một giả-thứ tự. (Xét hợp của các tập con bắc cầu của X mà các phần tử của chúng là các giả-thứ tự.)

(e) Nếu $(X_\iota)_{\iota\in I}$ là một họ các giả số thứ tự, thì $\bigcap_{\iota\in I}X_\iota$ là phần tử nhỏ nhất của họ này (đối với quan hệ bao hàm). (Sử dụng (b).) Suy ra rằng, nếu E là một giả số thứ tự, quan hệ $x\subset y$ giữa các phần tử $x,y$ của E là một quan hệ thứ tự tốt.

(f) Chứng minh rằng với mỗi số thứ tự $\alpha$ tồn tại một giả số thứ tự duy nhất $\mathrm{E}_\alpha$ sao cho $\mathrm{Ord}(\mathrm{E}_\alpha) = \alpha$ (sử dụng (e) và tiêu chuẩn C60). Đặc biệt, các giả số thứ tự có kiểu thứ tự là $0, 1, 2 = 1 + 1$, và $3 = 2 + 1$ lần lượt là